• 締切済み

行列を行列で微分することはできるのか?

spring135の回答

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

行列Aによる微分という演算を明確にする必要があります。チャンと定義してください。

mizomizori
質問者

お礼

あいまいな質問で申し訳ありませんでした. 行列Aは何でもよいのですがたとえばn*nの正則な行列だとして, これがn=1のときに成立するのは明らかですがn>=2の場合などはどうなるのでしょうか? また,行列Aによる微分というのは d/dA = (d/dA_ij)ijのように定義するものとする場合ですとどうなるでしょうか?

関連するQ&A

  • 行列を積分、微分するというのは?!

    計算上確かにそうなるのですが、納得しきない所がありました。 行列の計算途中で、「行列Pを変数をみなし、2回積分してその後2回微分する」という手法がありました。 自分の問題で実際に計算してみると、私の求めたい答えの形になりました(2回積分→2回微分すれば元に戻るので大丈夫?!)。しかし行列は積の交換法則が不成立だったり、行列を行列で割れないですし、何より行列を積分微分する概念が未熟な私にないというか、厳密に成立するものなのかとふと思ってしまいました。この行列を微分積分すること(行列を変数とみなすこと)について教えて頂ければうれしいです。 雑ではありますが、私が計算してみたのは、 2E+6P+12P^2+……+r(r-1)P^(r-2)+… で、これを2回積分→2回微分すると、 2(E-P)^(-3) となりました(Pはn次の正方行列、Eは単位行列)。 しかしかなり強引で、途中式など曖昧で自信がありません。

  • 逆行列の微分

    Aが正則な行列のとき、 dA^{-1}/dt=-A^{-1}・(dA/dt)・A^{-1} A^{-1}はAの逆行列 であると聞きましたが、この式がどうしても導出できません。 まわりの人たちに聞いたら、 「A^{-1}を微分したらマイナスAのマイナス2乗になるでしょ?」 と言われましたが、A^{-1}の-1は指数ではなくインバースの記号なので、 その返答がうさんくさいように思えてなりません。 逆行列の成分ごとに計算しようとしましたが、 余因子展開やら何やら行なっても式が複雑になるだけで、解決しませんでした。 夕方からつっかかって、気になって仕方がありません。助けてください。

  • 行列計算の微分を教えてください。

    D=A・{(C^t・C)^-1・C^t・A}^t・[{(C^t・C)^-1・C^t・A}・{(C^t・C)^-1・C^t・A}^t]^-1 ↑の行列式を下のようにそれぞれ偏微分したらどうなるでしょうか。 ∂D/∂A ∂D/∂C 転置と逆行列が入り混じっており、計算が分からなくなってしまいました。よろしくお願いします。

  • 行列をベクトルで微分

    以下,大文字を行列,小文字をベクトルとします.また," ' "は転置を示します. ∂(b'a)/∂a=∂(a'b)/∂a=b ∂(a'Ba)/∂=2Ba という公式は知っているのですが,以下の微分ではどうなるかさっぱりわかりません. ∂(Ba'C)/∂a ∂(BaC)/∂a ∂(BaCa'D)/∂a 計算方法を教えていただきたいです.

  • 行列の微分の証明

    A(t), B(t)を二次正方行列に値をもつ関数とするとき、 (d/dt)A(t)B(t)=(dA(t)/dt)B(t)+A(t)(dB(t)/dt) を示す、という命題なんですけど、これは成分で計算しながら証明するものでしょうか?? とっかかりがつかめず、困っています。 どなたか教えてください。お願いします。

  • 行列計算ソフト

    行列の成分を指定しなくても行列計算をしてくれるソフトを探しています。具体的には、たとえば行列dAのノルムが十分に小さいことを教えてやって >>inverse(A+dA) を入力すると >>inverse(A)-inverse(A)*dA*inverse(A) を返してくれるようなソフトです。ここまでしてくれなくても、たとえば >>A*B*inverse(B)*C を与えると >>A*C と文字的に返してくれるだけで十分ありがたいです。 大抵のソフトは >>A={{a,b,c},{d,e,f},…} などと成分を明記してあげてからでないと計算してくれないので、一般性が不十分です。Mathematicaなどでもできるのでしょうか?

  • 行列の微分方程式を解いていて、計算を進めたのですが、

    行列の微分方程式を解いていて、計算を進めたのですが、 exp(Bt) の計算ができずに困っています。 Bは三行三列の行列で 2 0   0 0 0  -√(2) 0 √(2) 0 というところまでは求められたのですが・・・ よろしくお願いします。

  • 逆行列の行列による微分

    今、あるシステムを構成したく行列方程式を解こうとしているのですが、行き詰ってしまったので質問させていただきます。 YとAを5×1行列、Bを5×3行列、Xをスカラ、Wを5×5行列、Hを3×1行列,B'はBの共役転置行列として、 Y = (A+BH)X・・・(1) H = -inv(B'WB)B'WA・・・(2) とします。 ((2)を(1)に代入した状態で)Y'Y=Jとおいて、∂J/∂W=0となるようなWを求めようとしているのですが、逆行列の行列による微分などが出てきてしまい、まったくわからなくなってしまいました。 これは解けるのでしょうか? 行列をvec関数を使ってベクトルになおしてみたりしたのですがinv()の部分がわからなくて・・・。 逆行列の行列による微分さえわかれば何とかなるような気もするのですが・・・。 解けるとすればどのようになるのでしょうか? 解法のヒントや参考になるページなどありましたら紹介していただきたいです。

  • ベクトルによる微分

    (1) あるスカラー a(1×1) をベクトルb (k×1) で微分するときに  ※( )内は行列のサイズです※ da/db = [da/db_1, da/db_2,....da/db_k]' というように一階の導関数ベクトルができますが、講義資料によりますと、このときの導関数ベクトル(正式な呼び名は知りませんが)のサイズは、bと同じ、つまり (k×1)の列ベクトルになるとなっています(上野表記に転置記号をつけたのはそのためです)。 (1×k)の行ベクトルにしないことに理由はあるのでしょうか? それともbに合わせると決まっているだけと考えてよいのでしょうか? (2) また、(n×1)のベクトルaを、(k×1)のベクトルbで微分することを考えた場合に、 da/db は (n×k)で定義されることについてはどうでしょうか? これも決まりと思って良いのでしょうか? (3) 最後に、(n×m)の行列Aを(k×1)のベクトルbで微分する、というような場合に、どのようなサイズのどのような行列になりますか? またはそもそもそういうことを考えますか?

  • 行列をベクトルで微分するにはどうしたらよいでしょうか。

    例えば、2×2の行列Aを a(x,y) b(x,y) c(x,y) d(x,y) を成分に持つ A=(a b ;c d) において、ベクトルv(x,y)で微分するとどのようになるのでしょうか。テンソルまたはテンソル風に複雑になるというような記述がありますが、わかる方教えてください。 また、勉強できる本、サイトがあれば教えてください。 よろしくお願いします。