逆行列の微分とは？
- 逆行列の微分とは、正則な行列Aに対して、その逆行列A^{-1}の時間変化に関する導関数を求める操作です。
- 逆行列の微分の公式は、dA^{-1}/dt = -A^{-1}・(dA/dt)・A^{-1}です。
- この公式から分かるように、逆行列の微分は元の行列Aの微分に関係しており、逆行列の成分を計算する手間を省くことができます。
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逆行列の微分
Ａが正則な行列のとき、 dA^{-1}/dt=-A^{-1}・(dA/dt)・A^{-1} A^{-1}はAの逆行列 であると聞きましたが、この式がどうしても導出できません。 まわりの人たちに聞いたら、 「A^{-1}を微分したらマイナスAのマイナス２乗になるでしょ？」 と言われましたが、A^{-1}の-1は指数ではなくインバースの記号なので、 その返答がうさんくさいように思えてなりません。 逆行列の成分ごとに計算しようとしましたが、 余因子展開やら何やら行なっても式が複雑になるだけで、解決しませんでした。 夕方からつっかかって、気になって仕方がありません。助けてください。
- msndance
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以下は dA/dt を A' と表現します。 ２つの行列の積の微分が以下のようになるのはいいですよね。 (A・B)' = A'・B + A・B' A^{-1}が微分可能であることは成分を考えれば明らか です。ここで、以下の両辺を微分します。 A・A^{-1} = E 結果は A'・A^{-1} + A・A^{-1}' = O これに左から A^{-1} を掛ければ出来あがりです。
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お礼
なんと明快な！ありがとうございます！ まさかAA^{-1}=Eの微分から出てくるなんて、 思いもよらず、ゆうべは一晩中のたうちまわっていました。 おかげですっきりしました。