- ベストアンサー
行列の微分の証明
A(t), B(t)を二次正方行列に値をもつ関数とするとき、 (d/dt)A(t)B(t)=(dA(t)/dt)B(t)+A(t)(dB(t)/dt) を示す、という命題なんですけど、これは成分で計算しながら証明するものでしょうか？？ とっかかりがつかめず、困っています。 どなたか教えてください。お願いします。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 成分が行列(?)の行列式の証明について．
成分が行列(?)の行列式の証明について． 画像添付が失敗してしまったようで再掲です．すみません． ---問題ここから--- Aがm次の正方行列，Bがm行n列の行列，Cがn次の正方行列，Oがn行m列のゼロ行列の時， |A B| |O C| = |A||C| を示せ． ---問題ここまで--- という問題です．(実際の問題文の画像を添付しました．) まさか2次正方行列の公式を使って示したことにはならないでしょうし， 左辺を1行で余因子展開して A|C|-B|O|=A|C| としてみたのですが，これでは右辺と等しいとは言えませんよね． 成分が行列の行列式ってどう計算したらよいのでしょうか，やり方がわからずハマってしまいました．．． どなたか解答の方針を教えて頂けませんか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の証明問題です。
n次正方行列Aが任意の正則行列Pに対して P^-1APとすると、 (1 1)成分が１ (n 1)成分が０(n≧1) であるn次正方行列になるならば A＝Eである。 証明の方針を教えてくれませんか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆行列の微分
Ａが正則な行列のとき、 dA^{-1}/dt=-A^{-1}・(dA/dt)・A^{-1} A^{-1}はAの逆行列 であると聞きましたが、この式がどうしても導出できません。 まわりの人たちに聞いたら、 「A^{-1}を微分したらマイナスAのマイナス２乗になるでしょ？」 と言われましたが、A^{-1}の-1は指数ではなくインバースの記号なので、 その返答がうさんくさいように思えてなりません。 逆行列の成分ごとに計算しようとしましたが、 余因子展開やら何やら行なっても式が複雑になるだけで、解決しませんでした。 夕方からつっかかって、気になって仕方がありません。助けてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題でわからないところが。
（１）成分に実数を含む行列を以下のように定義する。 │a 1 1 1│ │1 a 1 1│ │1 1 a 1│ │1 1 1 a│ rank(a)=3となるようなaの値を求めよ。 どのように計算したら良いのかわかりません… どなたか計算例等を説明いただけないでしょうか？ （２） Aはn次正則行列で、n次正方行列BはAの逆行列である。またn次正方行列CはBの第i行と第j行を交換してできる行列であるとする。 このとき、Cの逆行列の第(i,j)成分はAの成分を用いて表すことができる。 答えはaiiになるんですが過程がわかりません… もし、過程がわかる方いましたらご教授下さい。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 転置行列 証明
転置行列 証明 t（AB）=t（B）t（A） の証明について。 （l,m）行列をAとしてAの(i,j）成分をa（i，ｊ） （m，n）行列をBとしてBの(i,j）成分をb（i，j） 2つの行列の積の(i,j)成分は Σ[k=1～m]a（ik）b（kj）と定義されます。 ABの転置行列t（AB）の（i，ｊ）成分t（AB）（i，ｊ）＝（AB）（ｊ，i） よって、 Σ[k=1～m]a（ｊk）b（ki）・・・(1) =Σ[k=1～m]t（a（ｊk））t（b（ki））・・・(2) =Σ[k=1～m]a（kj）b（ik）・・・(3) =Σ[k=1～m]b（ik）b（kj）・・・(4) =t（B）t（A） 上は参考書などでよく見る証明なのですが、(3)ってそもそも計算できるのですか？ (1)～(4)までの流れは理解できるのですが、(3)を等式でつないでいいのかと気になりました。 （l,m）行列と（m，n）行列の積は（l，n）行列と定義されますが、(3)とは関係ないのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形・行列の証明がさっぱり。。。
対角成分以外がゼロである正方行列を対角行列という。対角行列の固有値は、対角成分に等しいことを示せ。また、対角成分より左下(右上)の成分がゼロである正方行列を上三角行列(下三角行列)という。上三角行列、下三角行列の固有値が対角成分に等しいことを証明せよ。 この証明がさっぱりわかりません。ご指導お願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 転置行列 証明
転置行列 証明 t(AB)=tBtAの証明について 知恵袋にあった証明を引用させて頂きます。 行列の積が定義できることを前提に、各行列の(i,j)成分を次のようにおきます。 A : a_ij B : b_ij tA : a_ij(t) = a_ji ＿＿＿＿ (1) tB : b_ij(t) = b_ji ＿＿＿＿ (2) 行列の積の定義から、ABの(i,j)成分は Σ a_ik*b_kj すると、t(AB)の(i,j)成分は Σ a_jk*b_ki = Σ b_ki*a_jk ＿＿＿＿ 積の交換 = Σ b_ik(t)*a_kj(t) ＿＿＿＿ (1)と(2)から明らか この関係式は、t(AB)の(i,j)成分がtBtAの(i,j)成分と等しいことを示しています。よって t(AB)=tBtA Σ a_jk*b_ki＝Σ b_ki*a_jk について積の交換をした理由が知りたいです。 t(AB)=tBtAだから、なんとなく交換したのではなくて交換しなければ成らない理由があると思うのですが その点について教えていただけませんでしょうか？ 以上、よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど。結構簡単に証明できちゃうんですね。 ありがとうございました☆