- 締切済み
ベクトルによる微分
(1) あるスカラー a(1×1) をベクトルb (k×1) で微分するときに ※( )内は行列のサイズです※ da/db = [da/db_1, da/db_2,....da/db_k]' というように一階の導関数ベクトルができますが、講義資料によりますと、このときの導関数ベクトル(正式な呼び名は知りませんが)のサイズは、bと同じ、つまり (k×1)の列ベクトルになるとなっています(上野表記に転置記号をつけたのはそのためです)。 (1×k)の行ベクトルにしないことに理由はあるのでしょうか? それともbに合わせると決まっているだけと考えてよいのでしょうか? (2) また、(n×1)のベクトルaを、(k×1)のベクトルbで微分することを考えた場合に、 da/db は (n×k)で定義されることについてはどうでしょうか? これも決まりと思って良いのでしょうか? (3) 最後に、(n×m)の行列Aを(k×1)のベクトルbで微分する、というような場合に、どのようなサイズのどのような行列になりますか? またはそもそもそういうことを考えますか?
- kohta83
- お礼率66% (16/24)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
みんなの回答
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
(2) n×kの行列としているのは、多分、Frechet微分を念頭に置いているのだと思います。 ベクトル空間からベクトル空間への写像fについて、 f(x+y)-f(x)=Ay+o(y)|y| となるような線型写像Aをfの(xにおける)微分(Frechet微分)と呼ぶ事があります。 このAは、δf/δxなどとかかれる事もあります。 fがk次ベクトル空間からn次ベクトル空間への写像であれば、Aはk次ベクトル空間からn次ベクトル空間への線型写像という事になります。従って、ある基底で表現すれば、n×kの行列になります。 (1) このFrechet微分では、da/dbはむしろ、k×1の行列ではなく、1×kの行列で書かれる事が分かります。 ただ、1×kのベクトルとして書いておくと、 δa=a(b+δb)-a(b)=(δa/δb)・δb のようにベクトルの内積とい分かりやすい形でかけます。だから(他にも理由はあるかもしれませんが)、1×kのベクトルとしているのだと思います。 ま、(x,y)という内積は、xを転置して書けば行列の積と同じように扱えますから、大した違いではなありませんが。 (3) 例えば、行列の各成分を縦一列に並べれば、nm×1のベクトルと同一視できますので、(2)と同じ状況です。
関連するQ&A
- ベクトルによる微分について
ベクトルと行列の積を、特定のベクトルで偏微分する場合の公式がよく理解できません。 http://www.eb.waseda.ac.jp/murata/junichi.mimura/knowledgh.html 例えば、ここに羅列されている「ベクトル・行列の微分法」の規則性が見えてきません。 (なんとなく、偏微分したいベクトルが転置されるよう、積全体を転置するという規則性が見えてきますが・・・。) どう考え方を整理したら良いのか、ぜひともご教示ください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列をベクトルで微分
以下,大文字を行列,小文字をベクトルとします.また," ' "は転置を示します. ∂(b'a)/∂a=∂(a'b)/∂a=b ∂(a'Ba)/∂=2Ba という公式は知っているのですが,以下の微分ではどうなるかさっぱりわかりません. ∂(Ba'C)/∂a ∂(BaC)/∂a ∂(BaCa'D)/∂a 計算方法を教えていただきたいです.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素ベクトルの微分、最小二乗誤差法(MMSE)
最小二乗誤差法を用いて評価関数を最小にする値を求めようとしています。 この評価関数が複素ベクトルと複素行列で構成されているので微分できずに困っています。 何冊か本を読んだのですが、この複素ベクトルで構成された式を微分する際、なぜかベクトルの共役をとって微分していました。 なぜ共役をとって微分するのかが全く分かりません。 どなたか知っている人がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。 例:J=w'Rw-w'r-r'w ・・・(1) J:評価関数 w:ウエイトベクトル R:行列 r:ベクトル ':複素共役転置 この(1)を最小にするようなwは、 Jをwで微分してその値が0という条件を使うと思います。 しかし大抵の本のやり方はwの共役で微分していました。ここが分かりません。何かメリットでもあるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の積 内積 の関係について
行列の積 内積 の関係について 行列の積と内積は同じであると説明があったのですが、 よく分かりません・・・ 例えば、A=(3、-2,1),B=(4,6,7)のベクトルの内積は A・B=(3×4)+(-2×6)+(1×7)=7となるのですが、 行列の積は(1行3列)×(1行3列)で計算できません。 どちらかのベクトルを転置化すれば計算できるのですが・・・ 列ベクトルや行ベクトルは転置しても同じベクトルなのでOKと言う事でしょうか? 内積の演算結果はスカラー(数値)で、行列の積の演算結果は 行列と認識しているのですがこの認識は誤りでしょうか? 列ベクトルや行ベクトルの積の場合はスカラーとなるのでしょうか? A=(3、-2,1),B=(4,6,7)において、ベクトルBを転置化してtBとすれば A×tB=(7)となります。これはスカラーとなりますでしょうか? (追加質問) また、以前ノルムに関して質問させて頂きました。 ご回答頂いた内容で大凡理解できたのですが、追加で一点だけ質問させて下さい。 VのベクトルAに対して、ノルムは ||A||=√(A・A)とされますが、これを||A||=√(A^2)と表記するのはおかしいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(
ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(~_~;) 1. A↑=A↑(t)とB↑=B(t)↑でA↑とB↑が平行で、かつdA↑/dtとB↑が平行であるならばA↑とdB↑/dtも平行であることを示せ。 (略解) A↑×B↑=0の両辺をtで微分せよ。 2. 曲線R1=costi+sintj+3t^2k(t>0)の接線とR2=θj+θ^2kの接線の方向が一致するとき、tとθの値を求めよ。 (i.j.kは基本ベクトル) 答え t=nπ、θ=(-1)^n ×3nπ nは正の整数 3.サイクロイド曲線R(θ)=a(θ-sinθ)i +a(1-cosθ)jの(0<θ<2p)のとき、曲線の長さsをθの関数として表せ。 またこの曲線の単位接戦ベクトルt↑と主法線ベクトルn↑を求めよ。 答え n↑=cosθ/2 i -sinθ/2 j (単位接線ベクトルの解答はありませんでした) の3問です。 できれば詳しい解答を望みますが、解くための考え方などを教えていただけるのもとてもありがたいのでよろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆行列の行列による微分
今、あるシステムを構成したく行列方程式を解こうとしているのですが、行き詰ってしまったので質問させていただきます。 YとAを5×1行列、Bを5×3行列、Xをスカラ、Wを5×5行列、Hを3×1行列,B'はBの共役転置行列として、 Y = (A+BH)X・・・(1) H = -inv(B'WB)B'WA・・・(2) とします。 ((2)を(1)に代入した状態で)Y'Y=Jとおいて、∂J/∂W=0となるようなWを求めようとしているのですが、逆行列の行列による微分などが出てきてしまい、まったくわからなくなってしまいました。 これは解けるのでしょうか? 行列をvec関数を使ってベクトルになおしてみたりしたのですがinv()の部分がわからなくて・・・。 逆行列の行列による微分さえわかれば何とかなるような気もするのですが・・・。 解けるとすればどのようになるのでしょうか? 解法のヒントや参考になるページなどありましたら紹介していただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 方程式の解き方を教えてください。
逆行列を ^(-1) で、転置を ^T で表すことにします。 k:自然数 Δ:既知のスカラー値 A:既知の、kに依存しない10×10行列 y:既知のkに依存するスカラー値 b:未知のkに依存しない10×1ベクトル c:未知のkに依存しない10×1ベクトル E:10×10単位行列 とします。これらが次の式を満たす時のb,cを求めたいのです。 y(kΔ) = c^T A^(-1) (exp(kAΔ)-E)b (k=1,2,3,.....) この制約式を厳密に満たす必要はありません。 2乗誤差が最小になるようなくらいでいいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数