ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(

質問

ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(~_~;)

1. A↑＝A↑(t)とB↑＝B(t)↑でA↑とB↑が平行で、かつdA↑/dtとB↑が平行であるならばA↑とdB↑/dtも平行であることを示せ。
(略解) A↑×B↑＝0の両辺をtで微分せよ。

2. 曲線R1＝costi+sintj+3t^2k(t>0)の接線とR2＝θj+θ^2kの接線の方向が一致するとき、tとθの値を求めよ。
(i.j.kは基本ベクトル)

答え t＝nπ、θ＝(－1)^n ×3nπ nは正の整数

3.サイクロイド曲線R(θ)＝a(θ－sinθ)i +a(1－cosθ)jの(0<θ<2p)のとき、曲線の長さsをθの関数として表せ。
またこの曲線の単位接戦ベクトルt↑と主法線ベクトルn↑を求めよ。

答え n↑＝cosθ/2 i －sinθ/2 j
(単位接線ベクトルの解答はありませんでした)

の3問です。
できれば詳しい解答を望みますが、解くための考え方などを教えていただけるのもとてもありがたいのでよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1.
A↑=A↑(t)
と
B↑=B(t)↑
で
A↑とB↑が平行だから
A↑とB↑の外積は0だから
A↑×B↑=0
両辺をtで微分すると
d(A↑×B↑)/dt=0
↓d(A↑×B↑)/dt=(dA↑/dt)×B↑+A↑×(dB↑/dt)だから
(dA↑/dt)×B↑+A↑×(dB↑/dt)=0…(1)
dA↑/dtとB↑が平行だから
dA↑/dtとB↑の外積は0だから
dA↑/dt×B↑=0
だからこれを(1)に代入すると
A↑×(dB↑/dt)=0
だから
A↑とdB↑/dtも平行である

2.
曲線R1=costi+sintj+3t^2k(t>0)の接線ベクトルは
R1'=-sinti+costj+6tk…(2)
曲線R2=θj+θ^2kの接線ベクトルは
R2'=j+2θk…(3)
R1の接線の方向と
R2の接線の方向が一致するから
R1'とR2'は平行だから
R1'はR2'のスカラー倍だから
あるスカラー実数aがあって
R1'=aR2'
となるからこれと(2)と(3)から
-sinti+costj+6tk=a(j+2θk)
だから
-sint=0…(i)
cost=a…(j)
6t=2aθ…(k)
(i)からnを任意の整数とすると
t=nπ…(t)
これを(j)に代入すると
(-1)^n=a
これと(t)を(k)に代入すると
6nπ=2θ(-1)^n
両辺に{(-1)^n}/2を掛けると
{(-1)^n}3nπ=θ
∴
t=nπ
θ={(-1)^n}3nπ
(nは整数)

3.サイクロイド曲線
R(θ)=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ)j
の(0<θ<2π,a>0)のとき、
接線ベクトルは
R'(θ)=a(1-cosθ)i+asinθj
だから
|R'(θ)|
=a√{(1-cosθ)^2+(sinθ)^2}
=a√{2(1-cosθ)}
=2a|sin(θ/2)|
↓0<θ/2<πだから
=2asin(θ/2)
曲線の長さは
s
=∫_{0～θ}|R'(θ)|dθ
=2a∫_{0～θ}sin(θ/2)dθ
=4a[-cos(θ/2)]_{0～θ}
=4a{1-cos(θ/2)}

s'=2asin(θ/2)=|R'(θ)|
だから
単位接線ベクトルは
t↑
=dR/ds
=R'(θ)/s'
=R'(θ)/|R'(θ)|
={a(1-cosθ)i+asinθj}/[a√{2(1-cosθ)}]
=[√{(1-cosθ)/2}]i+(asinθj)/{2asin(θ/2)}
=sin(θ/2)i+cos(θ/2)j

接線ベクトルをθで微分すると
t↑'={cos(θ/2)i-sin(θ/2)j}/2
|t↑'|
=√[{cos(θ/2)}^2/4+{sin(θ/2)}^2/4]
=1/2
単位法線ベクトルは
n↑
=t↑'/|t↑'|
=cos(θ/2)i-sin(θ/2)j
∴
s=4a{1-cos(θ/2)}
t↑=sin(θ/2)i+cos(θ/2)j
n↑=cos(θ/2)i-sin(θ/2)j

お礼

前回に引き続き、解答ありがとうございますm(_ _)m
非常に分かりやすかったです。