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方程式の解き方を教えてください。

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  • 質問No.197857
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お礼率 15% (3/20)

逆行列を ^(-1) で、転置を ^T で表すことにします。
k:自然数
Δ:既知のスカラー値
A:既知の、kに依存しない10×10行列
y:既知のkに依存するスカラー値
b:未知のkに依存しない10×1ベクトル
c:未知のkに依存しない10×1ベクトル
E:10×10単位行列
とします。これらが次の式を満たす時のb,cを求めたいのです。

 y(kΔ) = c^T A^(-1) (exp(kAΔ)-E)b (k=1,2,3,.....)

この制約式を厳密に満たす必要はありません。
2乗誤差が最小になるようなくらいでいいです。
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  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

前処理としては(べつにやらなくてもまったく問題ないとは思いますが)
u^T=c^TA^(-1)(exp(AΔ)-E)と置とおいて
y((k+1)Δ) -y(kΔ) = u^T exp(kAΔ) b
とするのでしょうかね。あとは
bを固有値αn (n = 1,2,...,10)なる
Aの固有ベクトルの列{bn; n=1,2,...10}(とくに規格化してません)であらわして
y((k+1)Δ) -y(kΔ) = Σ{nについての和}} exp(kαn Δ) (u^T.bn)
から(u^T.bn)を求めればよいのではないでしょうか?
c,bはそれぞれ大きさを決めて(u^T.bn)からもとめればよいかと思います。
補足コメント
continuous

お礼率 15% (3/20)

回答ありがとうございます。
>bを固有値αn (n = 1,2,...,10)なる
>Aの固有ベクトルの列{bn; n=1,2,...10}(とくに規格化してません)であらわして
>y((k+1)Δ) -y(kΔ) = Σ{nについての和}} exp(kαn Δ) (u^T.bn)

bをAの固有ベクトルbnで表す時、bは未知ベクトルですから、
b = Σβnbn (βnは未知のスカラー値)
と表せると思います。この未知数βn(n=1,...10)も式にきちんと入れると、
y((k+1)Δ)-y(kΔ) = Σ{nの和}βn exp(kαn Δ)(u^T.bn)
となるはずで、βnが既知なら(u^T.bn)は求まりますが、実際には未知なので求まりません。βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、
βn(u^T.bn) = (nに依存する既知の値)
からβn,u^Tをどうやって求めればいいのでしょうか?
投稿日時 - 2002-01-15 03:44:12
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

>βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、 必然的にそうなるのでは? βn(u^T.bn)を見ればわかるように恣意性があります (方程式の形がy=cMbとなっているため、cをk倍、bを1/k倍しても変わらないためです)。 「c,bはそれぞれ大きさを決めて」といっているのはそういうことです。 そして、それぞれ大きさを決めるのだからbnのノルムは関係な ...続きを読む
>βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、
必然的にそうなるのでは?
βn(u^T.bn)を見ればわかるように恣意性があります
(方程式の形がy=cMbとなっているため、cをk倍、bを1/k倍しても変わらないためです)。
「c,bはそれぞれ大きさを決めて」といっているのはそういうことです。
そして、それぞれ大きさを決めるのだからbnのノルムは関係ないので
規格化しないと書きました。ちなみに、b=Σβnbnとしてをβnを適当に決めれば
求められた値=βn(u^T.bn)=c^T(A^(-1)(exp(AΔ)-E).bn)
=(αn)^(-1)(exp(αnΔ)-1)(c^T.bn)
でcが求められます。


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