行列計算の微分を教えてください。

質問

D=A・{(C^t・C)^-1・C^t・A}^t・[{(C^t・C)^-1・C^t・A}・{(C^t・C)^-1・C^t・A}^t]^-1

↑の行列式を下のようにそれぞれ偏微分したらどうなるでしょうか。

∂D/∂A
∂D/∂C

転置と逆行列が入り混じっており、計算が分からなくなってしまいました。よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

B=(C^t・C)^-1・C^t・A
とすると
D=A・B^t・(B・B^t)^-1

B=(C^t・C)^-1・C^t・A
↓(C^t・C)^-1=C^{-1}・(C^t)^{-1} だから
B=C^{-1}・(C^t)^{-1}・C^t・A
↓(C^t)^{-1}・C^t=E(単位行列)だから
B=C^{-1}・E・A
↓E・A=A だから
B=C^{-1}・A
↓
B^{-1}=(C^{-1}・A)^{-1}
↓
B^{-1}=A^{-1}・C

D=A・B^t・(B・B^t)^-1
↓(B・B^t)^-1=(B^t)^{-1}・B^{-1} だから
D=A・B^t・(B^t)^{-1}・B^{-1}
↓B^t・(B^t)^{-1}=E だから
D=A・E・B^{-1}
↓A・E=A だから
D=A・B^{-1}
↓B^{-1}=A^{-1}・C だから
D=A・A^{-1}・C
↓A・A^{-1}=E だから
D=E・C
↓E・C=C だから
D=C

Dの行列式は
|D|=|C|
だから

行列DのAによる偏微分
∂D/∂A=∂C/∂A=0
は行列式の偏微分ではありません

Dの行列式のAによる偏微分は
∂|D|/∂A=∂|C|/∂A=0
です

行列DのCによる偏微分
∂D/∂C=∂C/∂C
は行列式の偏微分ではありません

Dの行列式のCによる偏微分は
∂|D|/∂C=∂|C|/∂C
です