線形空間Vの次元dimVの一定性を証明する方法
- 線形空間Vの次元dimV、すなわち基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一定であることを証明する方法を説明します。
- 具体的には、ベクトルの集合を行列として表現し、基本変形を施すことで単位行列に近づけます。この際、残った1の数が行列のランクであり、基底の元の個数に等しいことがわかります。
- したがって、線形空間Vの次元dimVは基底のとり方によらず一定であることが証明されます。
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dimVが一定であることの証明
線形空間Vの次元dimV、すなわち基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一 定であることを証明せよ。 という問題がもしあったとしたら（自分でつくった問題なので変かもしれません(^_^;) ）、どう答えればいいでしょうか？ 【自分の解答】 Vを構成するベクトルをa1、a2、…、an とする。それらを横に並べた行列を A=（a1,a2,…,an）とおく。Aに基本変形を施し、できる限り単位行列に近づけた 結果、残った1の数がこの行列のランクである。ランクの数はどのように基本変形 を施しても一定である。dimVはrankAに等しいから、線形空間Vの次元dimV、すな わち基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一定である。（証明終）
- milkyway60
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>ランクの数はどのように基本変形を施しても一定である。 話が逆では？どのように基本変形を施しても一定なので、それをランクと定義するのでは？ それとも rank の定義を別にした上での話？ >dimVはrankAに等しいから 「Vを構成するベクトルをa1、a2、…、an とする。」とはどういう意味ですか？ a1.... an が V の基底ということ、それとも別の意味？ dimV は「基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一定」だからこそ定義できるんですよね？なので証明中に dim(V) が出てくるのはおかしくないですか？ ここでも dim(V) として別の定義をした上での話をしているのですか？ 定義や用語をはっきりさせないと、「自分にしかわからない証明」になってしまいますよ。
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補足
意味不明な質問になってしまってすみません。 a1.... an が V の基底ということのつもりでした。 何の定義も前提にしてないです。 問題としておかしいので、わからないところがあったらまた再質問しようと思います。 回答ありがとうございました。