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階数と退化次数の命題（松坂さんの『線形代数入門』）

松坂さんの『線形代数入門』p104の定理3.19からの抜粋です。 Ｖ，Ｗをベクトル空間として、Vは有限次元であるとする。そのとき、線形写像F:V→Wの像をW'、核をV'とすれば、 dimW'+dimV'=dimV が成り立つというものがあります。 この証明の流れを軽くかくと、 dimV(=n)、dimV'(=s)の次数を決める。すると、V'はVの部分空間なのでdimV'の基底を拡張したものがdimVの基底になる。 その拡張した基底(r個追加して拡張したことにする)のＦによる像がdimW'の基底となることを示す。 するとs+r=nとなり定理が証明できたことになる。 この証明の中で、拡張したもの像がW'を生成すること、１次独立であることを示したらそれが基底であることが言えるわけですが、１次独立であることをしめしている箇所がわかりません。 １次独立の定義は、一次結合が０になるのは、その実数係数がすべて０の時に限るということだったはずですが、この証明においては、実数係数がすべて０であるということは述べていますが、その時に限るということは言えていない気がします。 どなたかお答えいただけると幸いです。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

どんな証明なのか知らんけど, 気になったら 「一次独立でない」 と仮定していろいろ考えてみればいいのでは?

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質問者

お礼

どうも、ちょっと考えてみました。質問の幅を小さくいてもう一回質問してみようとおもいます。

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