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証明の仕方教えてください、
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#1の者です。 認めることが多すぎて,問題として述べることがほとんどないことが,気になってはいました。 結局,「次元,単射,全射がよくわからない」ということでしょうか。 φが単射 ⇔「φ(u)=φ(v) ならば u=v」(「単射」の定義) ⇔「φ(u-v)=0 ならば u-v=0」(線型性より) ⇔「φ(v)=0 ならば v=0」 定義は「u≠v ならば φ(u)≠φ(v)」と表されることもありますが,上の表記と同値ですね。 次に,全射についてですが,純粋な包含関係ではなく,次元で決まってしまうところが,線型空間の特殊なところです。 φが全射 ⇔ φ(V)=V ⇔ dim(V)=dim(φ(V)) の最後の同値関係を示すには, WをVの線型部分空間(W⊆V)とするとき, W=V ⇔ dim(W)=dim(V) であることを示せば十分です。 次元が「線型独立なベクトルの最大個数」もしくは「基底をなすベクトルの個数」であることを考えれば,⇒は明らかですね。逆を示します。 {w_1,w_2,・・・,w_n}をWの基底とします。 (n=dim(W)=dim(V)) vをVの任意のベクトルとすると,線型独立なベクトルの個数の最大性より,v,w_1,w_2,・・・,w_n は線型従属となります。 したがって,(c,c_1,c_2,・・・,c_n)≠(0,0,・・・,0) なるスカラーを用いて cv+c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0 と表されます。ここで,c=0とすると, c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0 より c_1=c_2=・・・=c_n=0 となって仮定に反するので, c≠0です。 そこで,-c_k/c = a_k(k=1,2,・・・,n)とおくと v = a_1*w_1+a_2*w_2+・・・+a_n*w_n ∈ W となって,V⊆Wが示されました。 以上の議論は,次元定理(次元公式)に行き着くまでに,何度か現れる手法です。 問題文では「・・・は認めてよい」となっていますが,勉強としてはその部分の確認から始める方が良いと思います。
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- F0ur1er
- ベストアンサー率60% (9/15)
こんにちは。#1の方の方法でいいと思いますよ。 それでも難しいなら、例を挙げてみたいと思います。 線形写像 f:R^n→R^n に対して上のことを示します。 fが単射なら、Ker f={0}.故に次元公式から dim(Im f)=n ∴Im f=R^n 逆に、fが全射なら、Im f=R^n 故に、dim(Im f)=nだから次元公式から dim(Ker f)=0.従って、Ker f={0} 同様にR^n=Vとすれば証明できるのでは。 また、f:単射⇔Ker f={0} というのは、定義とfが線形だから f(v_1-v_2)=f(v_1)-f(v_2) がいえるので、 f(v)=0⇒v=0(v∈R^n[又はV]) が成り立つのと同値ですね。 さらに、dim(Im f)=dim f(V)も定義から分かりますね。 それでは、頑張って下さい。
- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
この次元公式を認めれば, Ker(φ)={0} ⇔ φ(V)=V は明らかなのではないでしょうか。 (Ker(φ)={0}は単射の言い換え,φ(V)=Vは全射の言い換え)
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