線形代数 ベクトル空間と行列（ランク）の証明

質問

証明のやり方がよくわからなかったので次の２つの証明のやり方を
わかる方どうか教えてください。

１、
Aを（ｍ、ｎ）行列　Bをｎ次の正則行列　
Cをｍ次の正則行列とするとき　　
rank（CAB）＝rank（AB）＝rank（A）
を示す。
２、
UをK上の有限次元ベクトル空間、WをUの部分ベクトル空間とする。
a1,a2,,,,,arをWの基底とするとWの次元がｒということを示す。

この２つです。どちらか片方だけでもいいのでもし分かるかたがいたら
よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

＞ なので定義は定まっていないのですが・・。

それを「好きな流儀の定義を採用してよい」と解釈するのは、
流石に純真過ぎる気がしますね。常識的に考えて、
「講義で採用した定義に沿って考えよ」という意味でしょう。

何にせよ、好きに定義してよいのなら…

１．
rank M の定義を、線形写像 x → Mx の像 Span M の次元とする。
正則な線形写像の、定義域と像の次元は等しい。
なぜなら、定義域の基底 { e_k | k∈Λ } に対して、{ M e_k | k∈Λ }
が像の基底となるから。これを使って…
C の正則性より、rank AB = rank CAB.
B^-1 の正則性より、rank AB = rank A.

２．
線形空間の次元の定義を、一組の基底に属するベクトルの個数とする。
その個数は、基底の取り方に依存しないことが知られている。
よって、「定義により自明」。

講義で示された 基底,次元,rank の定義を補足に書けば、
それなりの回答もありえるでしょう。

回答No.1

Tacosan

rank とか次元の定義はどうなってますか?
特に 2 は, 次元の定義によっては「定義より」の 4文字で終わる可能性があります.

お礼

ありがとうございました。

補足

この２番の問題は大学の試験問題の過去問なんですが、
大問２の（２）なんです。それで大問２の（１）の問題が「次元の定義を書け」という問題なんです。
なので定義は定まっていないのですが・・。