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線形代数の次元について
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- devilstick
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すいません、こちらが勘違いをしていましたorz 「次元がnのベクトル空間において r個のベクトルの集合をとる(r＞nとする)と、 それらは一次従属となる」と同じことですよね。(?) これを示すためにnに関する数学的機能法を用いると、 (ⅰ)n=1のとき、 b1=(b1),b2=(b2)が k1b1+k2b2=0…☆を満たしているとすると、 b1はゼロでないので k1=k2b2/b1,k2はゼロでない数とすれば ☆をみたすすべてが0ではない実数k1,k2が存在する。 よって、b1,b2は一次従属。 (ⅱ)n-1まで成り立つとして、 b1=(b11,b12,…,b1n) b2=(b21,b22,…,b2n) …… bn=(bn1,bn2,…,bnn)が、 k1b1+k2b2+…+knbn=0を満たしているとすると、 連立方程式 k1b11+k2b21+…+knbn1=0 …★ k1b12+k2b22+…+knbn2=0 …… k1b1n+k2b2n+…+knbnn=0 が成り立つ。 ここで、b1はゼロベクトルではないので、 ゼロでない成分をもつ。いま、b11がゼロでないとすると、 (他の成分がゼロでないときも同様に計算すればよい) ★を使って二番目以降のk1を消去すると、 k1b11+k2b21+…+knbn1=0 k2a22+…+knan2=0 …… k2a2n+…+knann=0 と書ける。ここで、 a1=(a21,a31,…,an1) a2=(a22,a32,…,an2) …… an=(a2n,a3n,…,ann)とおけば、 a1,a2,…,anは次元がn-1のベクトル空間における n個のベクトルである。 よって、★の2番目以降の式を満たすような すべてがゼロではないk2,k3,…knが存在し、 k1=-k2b21/b11-k3b31/b11-…-knbn1/b11とおけば、 ★が成り立つ。よってb1,b2,…,bnは一次従属である。 したがってnのときも成り立つ。 こんな感じでＯＫだと思いますが… なんか添え字とか数式とか見にくくなってしまって 申し訳ないです。わかりにくかったら聞いて下さいなorz
- devilstick
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b1,b2,…,br,br+1とはなんのことか この文章から分からないのですが よかったらもうすこしさかのぼって 全文を書いていただけると助かります。 詳細キボンヌ…
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