複素解析 留数って何ですか？

質問

こんばんは、大学２年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか？授業中に

ｆ(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

回答No.1

kzhr · ベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz　　…(１)

の積分によって求められる値が留数だ！ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

（z=2）は特異点ですよね？
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね？
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも１位の極です。
　　　　(z-1)^2(z-2)^1ではz=1では２位、z=2では１位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。

Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz　　
　　　 =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、ｆ式を代入して簡単に求められます。

回答No.3

zk43

z=aでの留数は、定義としては、このまわりで積分して2πiで割ったも
のか、ローラン展開したときの1/(z-a)の係数です。
ローラン展開して、z=aのまわりで積分すると、1/(z-a)以外の項の積分
はみんな０になってしまい、1/(z-a)の積分は2πiになるからです。
実際の計算方法としては、n位の極の場合は、f(z)に(z-a)^nを掛けて、
n-1回微分して(n-1)！で割り、z→aとすれば良いです。
f(z)をローラン展開した式でこの操作をしてみると分かります。
1/(z-a)の係数をあぶりだすような感じです。
また、n位の極というのは、(z-a)^(n-1)f(z)ではまだz=aは特異点だ
が、(z-a)^nf(z)ではz=aは特異点でなくなるということです。
要するに、(z-a)^nをf(z)にかけてやれば特異点は解消されるが、指数
がnより小さい(z-a)^kをf(z)に掛けたのでは特異点は解消されないとい
うことです。ローラン展開では、マイナスのべきの項が-n乗までで止ま
るということです。
z-aの何乗をf(z)に掛けても特異点が解消されない場合は、z=aは真性
特異点となります。この場合は、ローラン展開のマイナスのべきの項
が無限に続きます。

留数というのはresidueの訳で、余りみたいなイメージでしょうか。
正則なら積分は０になり、特異点では積分しても０にならずにある数が
残ってしまう、という感じでしょうか。

ちなみに、この問題では、z=1とz=2が1位の極です。

回答No.2

proto

関数をある点z=aについて冪級数に展開するのがテイラー展開で
　　f(z) = Σ[k=0～∞]{A[k]*(z-a)^k}
という形に展開できますよね。

テイラー展開するための条件はf(z)がz=aで正則であることなんですが、
f(z)がz=aで正則でなくても冪級数に-1乗の項や-2乗の項を許すなら同じように展開が出来ます。
それがローラン展開です。具体的には
　　f(z) =Σ[k=-∞～∞]{A{k]*(z-a)^k}
のような感じです。

で、このとき-1次の項の係数A[-1]は特に重要な特徴を持っているので特別に名前をつけて留数と呼びます。
まとめると留数とは複素関数f(z)をローラン展開したときの-1次の係数のことです。