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da-love

問題:次に示す関数について各問いに答えなさい。
f(z)=e^jz/{(2z-π)(z-π)}
(1)関数fの特異点における留数を求めなさい。
(2)積分路C:|z-1|=1の正の向きに沿って積分しなさい。
(3)積分路C:|z|=1の正の向きに沿って積分しなさい。

留数については、特異点が、z=π/2,πで、f(z)を部分分数に分解していくですよね。そこで問題なのが
・虚数が含まれてても、係数合わせでといていいんでしょうか?
・そのあと、どうすれば留数が出てくるんでしょうか?
ご指導よろしくお願いします。
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  • Aみんなの回答(全2件)

    質問者が選んだベストアンサー

    • 2003-08-16 04:32:41
    • 回答No.1
    (1)
    竜数を求めるのに部分分数に分解する必要はありません。
    A=lim(z→a)f(z)・(z-a)
    が求まればf(z)のz=aにおける竜数はAです。

    (2)(3)
    積分閉曲線が左に囲む部分にあるf(z)の特異点の竜数の総和がSならば
    ∫f(z)dz=2・π・i・S
    です。
    • ありがとう数0
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    その他の回答 (全1件)

    • 2003-08-16 12:18:21
    • 回答No.2
    今の場合は e^(jz) を除いた部分を部分分数分解してもできますが, (1)  g(z) = e^jz/{(2z-π) (z-π)^2} だったりするとうまく行きません. keyguy さんのようなやり方がベストでしょう. 今の問題では z=π/2,πが1位の極になっているのは自明です. したがって,例えば z=π 近傍で (z-π)f(z) は正則で, (2)  (z-π)f(z) = ...続きを読む
    今の場合は e^(jz) を除いた部分を部分分数分解してもできますが,
    (1)  g(z) = e^jz/{(2z-π) (z-π)^2}
    だったりするとうまく行きません.
    keyguy さんのようなやり方がベストでしょう.

    今の問題では z=π/2,πが1位の極になっているのは自明です.
    したがって,例えば z=π 近傍で (z-π)f(z) は正則で,
    (2)  (z-π)f(z) = a_0 + a_1 (z-π) + a_2 (z-π)^2 + ...
    とテーラー展開できます.
    で,(2)の両辺を z-π で割れば,f(z) のローラン展開が得られて,
    留数が a_0 であることはすぐわかります.
    a_0 は (2)の左辺で z=π とおいた(あるいは極限を取った)ものに
    他なりません.
    これが keyguy さんの書かれている公式です.

    もし(1)の関数だったら z=πは2位の極ですから
    (3)  (z-π)^2 g(z) = b_0 + b_1 (z-π) + b_2 (z-π)^2 + ...
    を考えることになり,こんどは b_1 が g(z) の留数になります.
    つまり,(z-π)^2 g(z) を1回微分して
    z=π とおいた(あるいは極限を取った)ものから留数が得られます.
    同様に n 位の極でしたら (z-π)^n h(z) を n-1 回微分して
    z=π とおいた(あるいは極限を取った)ものから留数が得られます.
    ただし,(n-1)!の因子の調整に注意.

    ミスタイプがあるかも知れませんので,チェックもよろしく.
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