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留数を求めて積分を解きたい
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>z^6 -1=(z-1)(z+1)(z-(1/2)+(i(√3)/2))(z+(1/2)+(i(√3)/2)))(z+(1/2)-(i(√3)/2)))と分解はできました。 間違い。左辺はzの6次式、右辺はzの5次式です。右辺に因数を1つ忘れていませんか? 後の留数の計算の利便性のため以下のように因数分解しておきます。 z^6=(z^3-1)(z^3+1) =(z-1)(z^2+z+1)(z^3+1) =(z^3-1)(z+1)(z^2-z+1) =(z-1)(z+(1/2)+i((√3)/2))(z+(1/2)-i((√3)/2))(z^3+1) =(z^3-1)(z+1)(z-(1/2)+i((√3)/2))(z-(1/2)-i((√3)/2)) =(z-1)(z+1)(z+(1/2)+i((√3)/2))(z+(1/2)-i((√3)/2)) (z-(1/2)+i((√3)/2))(z-(1/2)-i((√3)/2)) 6個の一位の特異点 z=±1,-(1/2)±i((√3)/2),(1/2)±i((√3)/2) における留数を求めると Res(1)=lim[z→1] (z-1)/(z^6-1)=lim[z→1] 1/((z^2+z+1)(z^3+1))=1/6 Res(-1)=lim[z→-1] (z+1)/(z^6-1)=lim[z→1] 1/((z^3-1)(z^2-z+1))=-1/6 Res(-(1/2)-i((√3)/2))=lim[z→-(1/2)-i((√3)/2)] (z+(1/2)+i((√3)/2))/(z^6-1) =lim[z→-(1/2)-i((√3)/2)] 1/((z-1)(z+(1/2)-i((√3)/2))(z^3+1)) =-(1+i(√3))/12 Res(-(1/2)+i((√3)/2))=lim[z→-(1/2)+i((√3)/2)] (z+(1/2)-i((√3)/2))/(z^6-1) =lim[z→-(1/2)+i((√3)/2)] 1/((z-1)(z+(1/2)+i((√3)/2))(z^3+1)) =(-1+i(√3))/12 Res((1/2)-i((√3)/2))=lim[z→(1/2)-i((√3)/2)] (z-(1/2)+i((√3)/2))/(z^6-1) =lim[z→(1/2)-i((√3)/2)] 1/((z+1)(z-(1/2)-i((√3)/2))(z^3-1)) =(1-i(√3))/12 Res((1/2)+i((√3)/2))=lim[z→(1/2)+i((√3)/2)] (z-(1/2)-i((√3)/2))/(z^6-1) =lim[z→(1/2)+i((√3)/2)] 1/((z+1)(z-(1/2)+i((√3)/2))(z^3-1)) =(1+i(√3))/12 上記の6個の一位の特異点の絶対値は全部1であるから積分経路の半径2の円内に存在するから 留数定理より ∮[c] 1/(z^6 -1)dz =2πi {Res(1)+Res(-1)+Res(-(1/2)-i((√3)/2))+Res(-(1/2)+i((√3)/2)) +Res((1/2)-i((√3)/2))+Res((1/2)+i((√3)/2))} =2πi {(1/6)-(1/6)-(1+i(√3))/12+(-1+i(√3))/12+(1-i(√3))/12+(1+i(√3))/12 =2πi (0-2+2)/12 =0 …(答)
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