留数:本の答えは合ってますか?
- 次の関数の特異点における留数を求める問題です。
- 関数f(z) = (z^2 - 1)/{ (3z - 1)^2 }の特異点における留数を求めます。
- 本の答えと私の答えが異なるため、どちらが正しいか確認したいという質問です。
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留数:本の答えは合ってますか?
次の関数の特異点における留数を求めよ。 f(z) = (z^2 - 1)/{ (3z - 1)^2 } まず、u=3z-1と変形しておきます。 本の答えは f(z) = - 8/(81u^2) + 2/(27u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/27。 ・・・となっています。 私の答えを上記の形式で書くと、 f(z) = - 8/(9u^2) + 2/(9u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/9。 ・・・になります。 私は、 z^2 - 1 = a(3z-1)^2 + b(3z-1) + c で連立方程式を立てて、結果が a = 1/9 b = 2/9 c = -8/9 になりました。 関数電卓で解いてもそうなります(式の立て方自体が間違えてるかもしれませんけど)。 本と私のどちらが合っているのでしょうか?どうかお願いします。
- libre
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> u=3z-1 としたとき、 > f(z) = -(8/9)/(u^2)+(2/9)/u+(1/9) という計算は合ってます。なお、その計算をするには、何も「連立方程式」(そんなもんご質問のどこにも出てきてないようですが?)なんか使わなくたって、単に u=3z-1 をzについて解いた z = (u+1)/3 を f(z) = (z^2 - 1)/(u^2) の分子に代入して展開するだけ。 しかし、ここまでは重要ではない。(え?これで終わりなんじゃないの?と思ったでしょ。) 本題は留数の計算です。f(z)の特異点は z = 1/3 であり、従って(z - 1/3)のまわりでf(z)をローラン展開した時の-1次の係数が留数である。 すなわち、 > u=3z-1 じゃなく v = z - 1/3 を使って展開しなくちゃ留数は出ませんね。もちろん、 u = 3v であるから、既に計算してある「中間結果」を利用して f(z) = -(8/9)/(u^2)+(2/9)/u+(1/9) = -(8/9)/((3v)^2)+(2/9)/(3v)+(1/9) = -(8/81)/(v^2)+(2/27)/v+(1/9) とやればいい。 かくて、留数は(2/27)です。
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- siegmund
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stomachman さんの二番煎じですが... 本の答えの u と libre さんの計算の u とは違うもののようです. 本の u は u = z-1/3 のようですし, libre さんの u は u = 3z-1 ですね. libre さんの u = 3z-1 は複素平面のスケール変換(3倍した)と 平行移動(-1)とをやったことになっています. スケール変換はその変換率だけ留数の値が変化します. ですから,変換した変数の表示で留数を求めてそのままではいけません. > 私の答えを上記の形式で書くと、 > > f(z) = - 8/(9u^2) + 2/(9u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/9。 > > ・・・になります。 のところで,2/(9u) の項から留数 2/9 としていますよね. じゃあ,9u = w とおくと,この項は 2/w だから留数は2か? そんなことしませんよね. u を元に戻すと,この項は 2/{9(3z-1)} = (2/27)/(z-1/3)で, めでたく留数は 2/27 です.
- 178-tall
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(z^2 - 1)/(3z - 1)^2 = A/(3z - 1)^2 + B/(3z - 1) + C …(*) 略式の試算でも…。 まず (*) の両辺にて z → ∞ とし、 1/9 = C (*) へ代入。 (z^2 - 1)/(3z - 1)^2 - 1/9 = (2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 (2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 = A/(3z - 1)^2 + B/(3z - 1) …(**) (**) の両辺に (3z - 1)^2 をかけて z → 1/3 とし、 2/9 - 10/9 = -8/9 = A (*) へ代入。 (2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 + (8/9)/(3z - 1)^2 = B/(3z - 1) …(***) 左辺の勘定。 (2z/3 - 2/9)/(3z - 1)^2 = (2/9)(3z - 1)/(3z - 1)^2 = (2/9)/(3z - 1) つまり、B = 2/9 らしい。
お礼
検算してくださって、ありがとうございます。 やっぱり、B = 2/9の部分は合っていましたよね。 ありがとうございました。
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お礼
ありがとうございます。 > 単に > u=3z-1 >をzについて解いた > z = (u+1)/3 >を > f(z) = (z^2 - 1)/(u^2) >の分子に代入して展開するだけ。 なるほど、そうやって解けばよかったんですか。随分、楽ですね。 実はその方法も質問したかったんですけど、とりあえず連立方程式で解けていたので、ずっと放置していました(かなり面倒くさい解き方ですけど)。 >f(z)の特異点は > z = 1/3 >であり、従って(z - 1/3)のまわりでf(z)をローラン展開した時の-1次の係数が留数である。 あああーっ、そうですね。それで、 3z-1 = 3(z -1/3) と3で括ったんですね。 私の答えが正解だと思っていたので悔しいです。もっと勉強します。 ありがとうございました!