複素解析の留数の計算

質問

こんばんは。

複素解析の問題で、キャンパスゼミやその他の資料も参考にしたのですがどうしてもわかりません。問題は以下のものです。

複素関数 f(z)=e^z-i について点 z=πi/2 における　１/f(z) の留数を求めよ。

原点を中心とした半径πの半時計回りの円をCnとする。

ローラン展開から求めるべきなのでしょうか？
だとすれば、利用するマクローリン展開だけでも示していただけると大変ありがたいです。

宜しくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>複素解析の問題で、キャンパスゼミやその他の資料も参考にしたのですがどうしてもわかりません。
何がわからないですか。

マクローリン展開の定義は大抵の複素解析関係の参考書やテキスト、ネット上にも載っています。でもマクローリン展開を理解していれば、役立たないのがわかるはず。

z=πi/2 における　１/f(z) の展開なら、テイラー展開を利用しないといけないですね。
テイラー展開の定義も調べて見てください。
定義と展開係数も展開式に書かれている通り
g(z)のz=πi/2におけるテイラー展開の各次(z-(πi/2))^nの係数
g^(n)(πi/2)/n!
を計算するだけです。
微分ができるなら誰でも求められるはずです。
誰でもできるから、同じ問題が載っていないだけでしょう。
質問の問題では
g(z)={z-(πi/2)}/f(z)とおいて
z=πi/2におけるテイラー展開を求めればローラン展開は次式で得られます。
g(z)/{z-(πi/2)}

あなたが同じ問題を探すのではなく、誰でもできる計算をやってください。わからないとして他力本願に展開してもらうことはあなたのためになりませんし、
問題を丸投げして解答を求めることはこのサイトのマナー違反になります。

>f(z)=e^z-i
この書き方は
f(z)=(e^z)-i
f(z)=e^(z-i)
のどちらかわかりませんので回答者に正しく伝わりません。
わかるように書いて下さい。

別解として
テイラー展開を使わなくても
留数は
R=lim[z=iπ/2](z-iπ/2))/f(z)
で計算できます。
この留数の計算式も複素解析の参考書やテキストの何処にも載っています。
単に代入するだけの計算ですから、誰でも求められるはず。

少し、勉強不足で自力努力が足りないと思います。

質問があれば、やった解答と計算過程を詳細に補足に書いた上で、その何処で行き詰まり何がわからないのかを補足質問をして下さい。

お礼

ありがとうございます。
もう一度勉強しなおします。