経済数学＜限界代替率＞

質問

以下の２変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする）
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする）
参考：
関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみよ。

それぞれの微分をするところはわかったのですが
参考：のところがまるでわかりません。
それぞれを求めて微分するだけでは駄目なのでしょうか？
先生が言ったヒントを紙に走り書きをして書いたのですが、
早口だったもので単語しか書けなかったのですが
その単語とは
(1)は準線形の効用関数
(2)は１回まず偏微分、限界効用関数が出たら、限界代替率（コブダグロス型効用関数）
＜「限界代替率」は、片一方の数に偏らない。＞
です。
ヒントをもらって更にわからなくなりました。

わかる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする）
>(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする）
>参考：関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみよ。

[ヒント]
(1)「準線形」というのは、x2 のほうが自然対数を使っているからでしょう。Ax1+Bx2 なら「線形」と呼びますから。
(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう)

まず「限界代替率」の定義は、「無差別曲線の傾き」だそうです。
無差別曲線は、
　　f(x1,x2) = C
つまり、効用関数が想定値 C に等しくなる組み合わせ (x1, x2) を連ねた曲線です。

[参照ページ]
　http://www2.osipp.osaka-u.ac.jp/~jishida/dt/ch2.pdf

　　MRS12 = -dx2/dx1 = (∂f/∂x1)/(∂f/∂x2)　　…限界代替率

コブ・ダグラスのほうが計算がやさしそうです。
　　(∂f/∂x1)=a(x1)^(a-1)(x2)^b
　　(∂f/∂x2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)
でしたね。

計算して、参照ページと照合してみてください。

お礼

参照ＵＲＬとアドバイスありがとうございます。

>(1)「準線形」というのは、x2 のほうが自然対数を使っているからでしょう。Ax1+Bx2 なら「線形」と呼びますから。
この場合、もしx1のほうに自然対数を使っていても、準線形というのでしょうか？（どちらかに対数を使っていたら、準線形ということなのでしょうか？）

>(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう)
このタイプというのは、足し算ではなく、掛け算の場合はコブ・タグロス型になる、ということなのでしょうか？

教えて頂いた参照ページでしてみました。
良かったらご教授お願いします。

u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
u1(x1,x2)=a{(x2)/(x1)}^b
u2(x1,x2)=b{(x1)/(x2)}^b
MRS21=(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=(a/b)*{(x2)/(x1)}^b-a？？？
※括弧が増え過ぎて、記号の書き方が分からなかったのですが、これ[]は、{}の更に括弧という意味で入れました。
計算経過なのですが
(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=？
参照ページにもある
{α/(1-α)}*[{(x2)/(x1)}^(1-α)/{(x1)/(x2)}^α]={α/(1-α)}*(x2)/(x1)
の計算の仕方で既に解らずひっかかってしまいました＾＾；基本的なところで済みません。。。
参照ページで言うと
とにかく前に{α/(1-α)}＜名前何て言うのでしょうか）を持ってきて、
次に{(x2)/(x1)}*{(x2)/(x1)}と書き換え、
そして乗数を計算？するのでしょうか？
その乗数はどうやって計算したら良いのでしょうか？

回答No.7

noname#101087

>以下の２変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする）
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする）

ヒント：
(1)は準線形の効用関数と考えて、「限界代替率」を求めよ。
(2)は１回まず偏微分、限界効用関数が出たら、限界代替率（コブダグロス型効用関数）を求めよ。

-------------------------------
以上が元の問題だとすると、(1), (2) について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
を答えれば終わりじゃないでしょうかね。

ヒントに「**** を求めよ」とあるのに回答する必要があるのでしょうか ?

「限界代替率」を求めよ、というのに答えるときは、
u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b)
u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)}
MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
<<MRS12>> = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2)
と順序立てて答えるべきだと思いますが..... 。

最後の MRS12 は、
　　MRS12 = 1/MRS21 = (b/a)(x1/x2)
だけで良さそうです。

お礼

済みません、そのヒントは先生が早口で言ってたのをメモをとって、私がここで質問する為に、自分で勝手に加えて書き込みました。
本来は

以下の２変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。答案には答えを導いた過程もある程度記述してください。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする）
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする）
参考：関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみてください。

こうでした。

回答No.6

noname#101087

>MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2)
>これで良いでしょうか？

MRS12 ですね。
目出度く MRS21 = (a/b)(x2/x1) の逆数になりました。

お礼

設問(2)の回答の書き方なのですが
前回偏微分を書いたうえで、更に下記の通り書いたほうが良いのでしょうか？

u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b)
u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)}
MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2)

前回した偏微分を書かずに上記だけを書いた場合、問題の(∂^2f)/(∂x1^2)と(∂^2f)/(∂x2^2)への回答部分が抜けてしまうことになるので、どうなのでしょうか？
（前回から専門外の方にお聞きすること自体、おかしいのはわかっているのですが、やはり疑問なので…）

回答No.5

noname#101087

>入力ミスで、MRS22ではなく、MRS12でした。

MRS12 = 1/MRS21 です。
(定義式で、分母と分子が入れかわるだけです。)

>ＵＲＬの２ページは全て同じやり方なのでしょうか？

どの効用関数でも「MRS の定義」は同じです。

お礼

そういえば#1で
>(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう)
でしたよね。済みません。

>MRS12 = 1/MRS21 です。
>(定義式で、分母と分子が入れかわるだけです。)
MRS21 =b{x2^(b-1)}*{(x1)^a}/[a{x1^(a-1)}(x2^b)]
={b(x2)^(-1)}/{a(x1)^(-1)}
=(a/b)*(x1)/(bx2)
これで良いのでしょうか？

補足

さっきの間違っていましたよね
>分母と分子が入れかわるだけ
今意味がわかりました。
MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b)
= (a/b){x1^(-1)}(x2^1)
= (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)}
= (b/a)(x1/x2)
これで良いでしょうか？

回答No.4

noname#101087

>MRS22は .......

MRS22 は意味がないでしょう。無理に定義式で計算すれば、常に 1 ですね。
限界代替率(marginal rate of substitution, MRS) の定義を見なおしてみて...... 。

>教えてくださったＵＲＬ（２ページのコブタグラスの例）を拝見すると，コブダグロスではなく，普通の限界代替率になっているような気がするのですが？分母分子ともに，x1,x2の乗数が入れてあるような感じなのですが．

それは、コブ・ダグラス（Cobb-Douglas）型効用関数における「普通の限界代替率」です。
「普通ではない限界代替率」とは何でしょうか ?

お礼

入力ミスで、MRS22ではなく、MRS12でした。
定義を見直したのですが、
２ページ目のトップ
>第2財の第1財に対する限界代替率MRS21とするとき～
があるので
今度は、反対に、第1財の第2財に対する限界代替率MRS12があると思ったのですが…

>「普通ではない限界代替率」とは何でしょうか ?
限界代替率のなかに、コブタグラス型が特例なのだと思いまして…
先生のヒントにも、(2)の設問しかコブタグラスのことは言わなかったので、(1)はコブタグラス（特例）ではなく他の（普通）やり方があるのだと思っていたのですが、
(1)も(2)と同じ方法でしたら良いのでしょうか？

もしかしてＵＲＬの２ページは
全て同じやり方なのでしょうか？
私は、
>第２財の～
を詳しく書かれているのが
>証明：～
で
>例：コブタグラス～
を、限界代替率には色々やり方があって、そのなかにコブタグラスという方法がある
という風に捉えていたのですが…

回答No.3

noname#101087

>途中の(x2^1)が1乗になっているのはその前の計算の乗数を、分母の(x2)^bと分子(x1)^(b-1)で消去し、分母が(x1)^(-1)になり、
乗数の-を＋にかえて、分母から分子に持っていったから、(x2^1)になるのでしょうか？

その通りです。
　　x^(-m) = 1/x^m
ですから。

お礼

MRS22は
MRS22 =b{x2^(b-1)}*{(x1)^a}/[a{x1^(a-1)}(x2^b)]
合っているでしょうか？

それから今ちょっと思ったのですが，
教えてくださったＵＲＬ（２ページのコブタグラスの例）を拝見すると，
コブダグロスではなく，普通の限界代替率になっているような気がするのですが？
分母分子ともに，x1,x2の乗数が入れてあるような感じなのですが．

回答No.2

noname#101087

>.... もしx1のほうに自然対数を使っていても、準線形というのでしょうか？（どちらかに対数を使っていたら、準線形ということなのでしょうか？）

「準線形」というのは正式な呼び方じゃないと思います。
f(x1, x2) = Ax1+Bx2 なら、f は x1, x2 の「線形」結合です。
f(x1, x2) = Ag(x1)+Bh(x2) なら、f は g, h の「線形」結合ですけど、x1, x2 の「線形」結合ではありません。これを x1, x2 の「準線形」結合と言ったのでしょう。

>足し算ではなく、掛け算の場合はコブ・タグロス型になる、ということなのでしょうか？
そうなのでしょう。対数をとると、Log については「線形」になりますが.... 。
　　u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b　　→　　Log{u(x1,x2)} = a*Log(x1)+ b*Log(x2)

>u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
>u1(x1,x2)=a{(x2)/(x1)}^b
>u2(x1,x2)=b{(x1)/(x2)}^b
>MRS21=(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=(a/b)*{(x2)/(x1)}^b-a？？？

偏微分の結果はミスです。
参照ページは b=1-a の場合なので、この関係を無視してふつうに計算します。
　　u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b)
　　u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)}
　　MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
これに b=1-a の関係を代入したのが参照ページの結果です。

お礼

>MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)

途中の(x2^1)が1乗になっているのは
その前の計算の乗数を、分母の(x2)^bと分子(x1)^(b-1)で消去し、分母が(x1)^(-1)になり、
乗数の-を＋にかえて、分母から分子に持っていったから、
(x2^1)になるのでしょうか？