経済数学

質問

効用関数を u=(q1 × q2)∧2、財1の価格を2、財2の価格を4、所得を48とする。
（1）∂u / ∂q1 を合成関数の偏微分の法則を用いて求めよ。
（2）効用関数を全微分して限界代替率 -dq2 / dq1 = q2 / q1 であることを示せ。
（3）q2 / q1 をq1について微分し、限界代替率が逓減することを示せ。
（4）各財の最適消費量、そのときの効用およびラグランジュ乗数の値をラグランジュ未定乗数法の1階の条件より求めよ。

この問題がわからなくて困っています。お分かりの方、回答お願い致します。

回答No.1

Akira_Oji

物理が専門でミクロ経済学の用語は何一つ知りませんので、誤解があるかと思います。

効用関数は
u=(q1＊q2)^2　　　…[1]
で与えられている。

（１）
あえて合成関数の微分法を使うのでしたら、w=q1 q2と置いてu=w^2となり、du/dw=2w から、uのq1 および q2による偏微分は
(∂u/∂q1)=(du/dw)(∂w/∂q1)=2w q2=2q1q2 q2=2q1 (q2^2)　　　…[2]
(∂u/∂q2)=(du/dw)(∂w/∂q2)=2w q1=2q1q2 q1=2q2 (q1^2)　　　…[3]

（２）
全微分は
du=(∂u/∂q1)dq1+(∂u/∂q2)dq2=2q1(q2^2)dq1+2q2(q1^2)dq2
効用関数がそこでは変化しないとして、(du=0と置いて)

2q1(q2^2)dq1+2q2(q1^2)dq2=2q1q2(q2dq1+q1dq2)=0.
これより限界代替率は
q2dq1+q1dq2=0
を変形して
-dq2/dq1=q2/q1　　　…[4]

（３）
q2をq1の関数と考えて、商の微分法と式(4)を使って、
(d/dq1)(q2/q1)={(dq2/dq1)q1-q2}/(q1^2)={(-q2/q1)q1-q2}/(q1^2)= -2q2/(q1^2)<0
ここでq1, q2が正なので、この(d/dq1)(q2/q1) 限界代替率の変化はq1の増加に対して逓減（減少）することが分かる。

（４）
財１の価格が２、財２の価格が４、所得が４８であるので、最大消費は2*q1+4*q2=48の場合である。この条件を

2*q1+4*q2-48=0…[5]

と書いて、ラグランジュ乗数をLとすれば、ラグランジュ未定乗数法を用いて、効用関数u=(q1q2)^2はつぎのように変更する。

V(q1,q2,L)=u(q1,q2)-L(2*q1+4*q2-48)=(q1q2)^2-L(2*q1+4*q2-48) [6]

これより、極値を求めるために次の３式を要求する。

∂v/∂q1=∂u/∂q1-2L=2q1*q2^2-2L=0…[7]
∂v/∂q2=∂u/∂q2-4L=2q2*q1^2-4L=0…[8]
∂v/∂L=-(2*q1+4*q2-48)=0…[9]

[9]は初めから満たされている。（[5]と同じ。）
[7]と[8]からLを消せば、

4*q1*q2^2=2*q2*q1^2
4*q1*q2^2-2*q2*q1^2=0
2q1*q2(2*q2-q1)=0
これより、q1=2*q2…[10]

これを[9]あるいは[5]を使って、

q2=6, q1=12…[11]　
を得る。

[11]を[7]（あるいは[8]）に代入してラグランジュ乗数

L=2q1*q2^2＝2*12*6^2=864

となる。
このとき、効用は

u=(6*12)^2=5184.