断面に軸力とモーメントが作用する時の全塑性モーメント

質問

建築士独学中です。

以下の問題がありました。
「幅a、せいbの等質断面に軸圧縮力Nおよび曲げモーメントMが作用している。この断面の降伏応力度をσyとし、N=0.4abσyのとき、この断面における軸圧縮力を考慮した全塑性モーメントの値を求めよ」

この解法として、
断面の中央部は軸圧縮力によって降伏し、曲げモーメントによる降伏範囲は、軸圧縮力による降伏領域を除いた部分となる。
つまり、中立軸から0.4bの領域が軸力による降伏で、曲げモーメントによる降伏領域は、断面の上端・下端より0.3bの部分となり、曲げ合力の中心間距離が0.7bであることから
0.3abσy×0.7b=0.21ab^2σy　と解説がありました。

ここで疑問なのは、圧縮力は断面全体に均等に生じているはず（？）なのに、圧縮力による降伏範囲を中心部に集めるという仮定がなぜ成立するのかという点です。どうして、端部に集中したり均等にはならず中央部集中すると仮定できるのでしょうか？
仮に、降伏領域の仮定が間違っていれば合力中心間距離が変わってきて答えも違ってくると思うのですが・・・

言葉だけではイメージしにくいと思うので下記ページの下方の図解も参照ください。
http://www.19get.com/user_19get/update/contents/webcourse/05_rikigaku/04_zennsosei.html

回答No.1

yu-fo · ベストアンサー

私も同様の疑問を持っています(^^;
そこで、手元にある書籍をあたってみたのですが、明快に記述されているものはありませんでした。
しかしながら、私なりに理解できた点がありますので、まとめてみます。

・全塑性モーメントは極限値であり、平面保持の仮定を持ち込むと断面が全塑性モーメントに到達することはない

平面保持の仮定とは、ひずみ分布が中立軸からの距離に比例する、というものです。
なので、中立軸に極めて近い部分では断面が塑性していないと考えられます。
とはいえ、モーメントがある値に漸近していくことは確かですから、その極限値を全塑性モーメントと定義している、と理解できそうです。
ちなみに、全塑性モーメントを考えたときのひずみ分布は中立軸を境に不連続な状態だと推測しています。

・応力度分布は中立軸を挟んで反転する

上の議論から、応力度分布は中立軸を挟んで反転することになります。
よって、その仮定を原則と考えます。

・曲げモーメントのみが作用する場合の中立軸は断面積を二等分する位置

中立軸から上部を圧縮側、下部を引っ張り側とし、その応力度と断面積をそれぞれσy、Ac、-σy、Atと定義すると、圧縮力Ｃ＝σy・Ac、引張力Ｔ＝-σy・Acです。
曲げモーメントのみという条件から、Ｃ＝-Ｔですのでσy・Ac＝σy・Atです。
結局、Ac=Atとなりますから中立軸は断面積を上下に二等分する位置であることが判ります。

・全塑性モーメントは軸力の効果により低下する（重要！）

アプローチを逆にしてみただけですが、私はこれで理解できました。

軸力が作用していない全塑性モーメントの状態は中立軸が中心です。
中立軸が中心からずれることによって、圧縮力Ｃと引張力Ｔがバランスしなくなります。
このとき、断面の中央部分がモーメントに寄与しないと考えると、中心から中立軸までの距離の２倍の範囲が寄与しない範囲と考えることができます。
そうすることによって、外側の部分で偶力が構成でき、モーメントに抵抗することができます。

これを図にすると、、、質問で参照されているURLの図になります。

ここまで書くのに、私自身もかなり混乱しました(^^;
私の理解の過程がお伝えできればいいのですが。。。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ステップを踏んで細かく説明して下さったので大分ヒントになりました。

＞全塑性モーメントは軸力の効果により低下する（重要！）
アクセント効果抜群です。ここから展開できそうですね（＾＾）

＞このとき、断面の中央部分がモーメントに寄与しないと考えると・・
この部分の根拠がちょっと引っかかったので、以下、妄想してみました。
（yu-fo様の理論では平面保持の仮定より中立軸付近では全塑性モーメントに達していないというところから派生してる感じでしょうか・・？）

きっと自然界の摂理には、外力に対して、できるだけ小さな力を効率よく分配させて安定を保とうとする法則があって、
今回の件に関しても、圧縮外力に対しては断面のどこで負担させても同じ効果が得られるのに対し、
曲げに対しては中央部に分布させるよりも端部に優先的に分布させた方が最大限の抵抗値（全塑性モーメント）が得られるために、
このような応力分布になるのかな・・
と強引な解釈で自分を納得させてみました。