• ベストアンサー

矩形断面の断面2次モーメントを積分で求める場合

bh^3/12となる矩形断面の断面2二次モーメントの積分式ですが テキストには大抵 ∫A b・y^2・dxとなっています。 このときの書き順ですが 理屈で考えると微小断面b×dxを軸からの距離 yの2乗で-h/2から+h/2まで積分するという意味ですから ∫A b・dx・y^2の方が自然だと思うのですが なぜy^2がdxよりも前にくるのですか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • AoDoc
  • ベストアンサー率68% (100/147)
回答No.1

断面二次モーメントの定義は、I=∫y^2dAで、断面全体にわたって積分します。長方形の場合はdA=bdyですから、I=∫y^2・bdy,積分区間は-h/2<y<h/2となります。積分記号内では、微小幅dyは、積分を実行するときは最後に書くと思いますが。

yagoogle
質問者

お礼

ありがとうございます。 間違えてました、dxではなくdyでした。 なるほど積分の表記の仕方は、 微小幅は最後に書くと言うルールがあるんですか。 あと、計算途中で幅bをインテグラルの前に出したりしますが、 他にも表記ルールにどのようなものがありますか? 独学で勉強していますが、本を見てもそんなルール説明は出てこなくて 入門書を見ても初めは絵入りで身近な例を上げて解説してあるのですが あるところから行きなり∫の式が登場し、積分の表記は こう書きます、としか出てこなくてそのルールから教えてよ って思ってしまいます。

関連するQ&A

  • 断面一次モーメントについて。

    昔の記事をみたら断面二次モーメントについては見つかり、 距離の二乗と微小面積の積をかけたものの積分というような理解を したのですが、それ以前に断面一次モーメントがわかりません。 今、材料力学という科目で演習問題を解いているのですが、理解できません。 図心は一次モーメントを断面積で割ったものが一般的ということですが それすらも何故だかわかりません。 例題として三角形断面の図心cのZ1軸(底辺をx軸方向に伸ばした軸です) からの位置、図心cを通るz軸に関する断面二次モーメントを求めよ。 という問題を考えています。この三角形の断面一次モーメントが底辺b 高さhとしたときb(h二乗)/6となるみたいですがそれが何故だかが わかりません・・。 三角形ですから重心は既知ですからこうなるのは納得しますが、積分から のもってき方がわからないのです。 どなたか教えていただけないでしょうか?

  • 断面2次モーメントの公式について

    たわみの計算をしようと思い、 断面がC形の形状の断面2次モーメントの公式を調べたら I=(BH^3-bh^3)/12 と書いてありました。 分子の3乗が、(BH)^3なのかB・H^3なのかわかりません。 絵が下手くそなのは勘弁してください。 回答お願いいたします。

  • 断面2次モーメント

    長方形の断面2次モーメントの公式  1/12bh3 はどの様に導出されたか教えてください。 公式に3は三乗の3です。

  • 長方形の断面2次モーメントについて

    長方形の断面2次モーメントの求め方として、一般的によく、 b・h^3/12[mm^4]・・・(1) という式がでてきます。(b=巾、h=高さ) 微小断面dx・dyとして、積分、距離の2乗をかけたものと理解してます。  ところで、とあるサイトより、図芯を通らず、かつ、回転角度θ°を考慮した、長方形の断面2次モーメント算出式  (Ix・cos^2θ+Iy・sin^2θ)+AL^2・・・・(2)  L=図芯からの重心距離  Ix、Iy・・・単体での断面2次モーメント((1)式より算出?) というのを見つけました。(2)の式の場合、長方形断面においては、角度ズレ、図芯ズレまでカバーできるとありました。  (2)の式を数学的に導きだすにはどうしたらいいでしょうか?  ((2)式のcos^2θ、sin^2θの意味がわかりません)

  • 断面二次モーメントを積分で

    一辺の長さがaの□と◇の図心を通る断面二次モーメントはどちらもa^4/12ですが これを積分で導きたいのですが解法を教えていただけませんでしょうか? 積分は今勉強中で解法を見ればわかると思うレベルです。

  • 抵抗のない断面2次モーメント

    圧縮では抵抗のなく引っ張りだけを考慮した材料(断面長方形)の 断面2次モーメントを計算したいのですがこれでいいでしょうか? σ=ky M=∫σyb2dy(-h1~-h2)+∫σyb1dy(0~-h1) =k∫y^2b2dy(-h1~-h2)+k∫y^2b1dy(0~-h1) =σ/y(∫y^2b2dy(-h1~-h2)+k∫y^2b1dy(0~-h1)) =σ/y(b2(h1^3+h2^3)/3+b1(h1^3)/3) b1:空洞の幅  h1:中立軸から空洞の下縁までの距離 b2 :長方形の幅 h2:中立軸から下縁までの距離 原点は中立軸y軸は上方向

  • 慣性モーメントがわかりません

    長半径a(x軸上)短半径b(y軸上)の楕円体の慣性モーメントを求めたいです(原点が楕円の中心でx軸y軸z軸それぞれの慣性モーメントを求めたい) ∫0からa ρ4x二乗b√1-(x二乗/a二乗)dx でy軸に関する慣性モーメントが求まるときいたんですがなぜなのかわかりません 慣性モーメントは∫r^2dmでもとまるので、rが上のxに対応してると思うのですがなぜそのままx^2とできるのかわからず、またb√1-(x二乗/a二乗)つまり楕円の式をy=にした形にρをかけたものがなぜdmになるのが想像つきません 急ぎではないので暇なときに答えてくれたらうれしいです

  • 断面2次モーメントの計算

    任意多角形の断面2次モーメントはどうやったら求められるでしょうか? Ix=∫[A]y^2dA、Iy=∫[A]x^2dA 面積は分かったのですが、 A=∫[A]dA =1/2Σ[i=1,n](x[i]y[i+1]-x[i+1]y[i]) 断面2次モーメントは略算的な式しか載っていないし、線積分をどうやって実行したらいいのか全然分からないので困っています。 何かヒントになることだけでもよろしくお願いします。

  • 三角形の断面二次モーメント?

    幅b高さhの底辺に関する断面二次モーメントは いくらになるでしょうか? わかりにくくて大変申し訳ありません。 ↑    /\     /   \ h  /     \   /       \ ↓/______\    ←    b   →

  • ある軸に平行な軸群のうちで図心を通る場合の断面二次モーメントが最大となる時

    建築士を独学で勉強しています。 「図心を通る任意の軸に関する断面二次モーメントは、その軸に平行なすべての軸に関する断面二次モーメントのうちで最小または最大である。」 とありました。最小は分かりますが、最大となるのはどういうときでしょうか? 例えば長方形断面の主軸に関するIを求めた場合、I=bh^3/12となり、 軸を平行移動させて図心からの距離をaだけ離すと、I'=bh^3/12+Aa^2 となって常にI<I'の関係が成り立つような気がするのですが・・