準正多面体はなぜ１３個なのか？

質問

準正多面体はなぜ１３個なのか？

すごく悩んでいます。

斜方立方８面体など
13個ある準正多面体はちゃんと把握しています。

ただなぜ13個しかないのかと言われると
その根拠がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

ryn

質問者さんは既にわかっていることかもしれませんが，
回答がないようなので方針だけ書いてみます．

まず，正 p 角形の内角は
　π*(p-2)/p [rad]
となっていることに注意すると，
正三角形の場合が最も小さく π/3 という値になります．
また，多面体の頂点にはいくつかの面が集まっていますが，
　π/3 * 6 = π [rad]
になることから，頂点に集まる面の数は最大5個となります．

ここで，正p角形，正q角形，正r角形，…が集まる頂点を
　(p,q,r,…)　　　（ただし，p≦q≦r≦…とする）
のように表すことにすると
頂点に面が5つ集まっている場合は
　(3,3,3,3,3)　←正二十面体
　(3,3,3,3,4)
　(3,3,3,3,5)
の組み合わせしかありません．

頂点に面が4つ集まっている場合や
3つ集まっている場合なども同様に考えればよいのですが，
（といっても5個集まっている場合と違って無限個出てきます．）
もう少し条件を絞りながら求める方法を書いてみます．

■ (3,3,3,3,p) 型　（4≦p）
多面体を構成する材料として
正三角形 a 個，正 p 角形 b 個を用意したとすると，
組み立てる前のバラバラの状態では
　頂点の数：　3a + pb
　辺の数：　3a + pb
　面の数：　a + b
となっています．

これらを使って多面体を組み立てると
　頂点の数：　(3a + pb)/5　　　←今は頂点に5つの面が集まっているので
　辺の数：　(3a + pb)/2　　　←任意の辺は2つの面が共有しているので
　面の数：　a + b　　　←組み立てても同じ
となります．

ここで，オイラーの多面体定理
　（頂点の数） - （辺の数） + （面の数） = 2
を考えると
　(3a + pb)/5 - (3a + pb)/2 + (a+b) = 2
⇔ a + (10-3p)b = 20　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(1)
が成り立ちます．

一方，純正多面体であるためには
すべての頂点に正三角形4つと正 p 角形1つがないといけないので
バラバラのときの頂点の個数について
　3a ： pb = 4 ： 1
⇔ 3a = 4pb　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(2)
となっていなければいけません．
これを (1) 式に代入して整理すると
　(6-p)*b = 12
となり，p, b が自然数であることから
　(p, a, b) = (4, 32, 6), (5, 80, 12)
の2組の解が求まります．
順に変形立方体，変形十二面体のことです．

ここまで見れば上手くいくようですが，実はそうではありません．

■ (3,3,3,p) 型　（4≦p）
上と同様にすると
　a + (4-p)b = 8　　　　　←多面体定理の条件から
　a = pb　　　　　←頂点の集まり方の条件から
となり，これらの式からは
　(p, a, b) = (p, 2p, 2)
という結果が出てきます．

これらの無限個ある (3,3,3,p) 型の多面体も
準正多面体の条件を満たしていますが，
無限個あることや2次元の対称性しか持たないために
準正多面体には含まない反角柱と呼ばれる立体です．

■ (3,3,4,p) 型　（4≦p）
正三角形 a 個，正方形 b 個，正 p 角形 c 個とすると
　(12 - p)c = 12
　3a = 8b = 2pc
という関係が得られ，これを満たす自然数解は
　(p, a, b, c)
　　　　= (4, 8, 3, 3), (6, 16, 6, 4), (8, 32, 12, 6),
　　　　　(9, 48, 18, 8), (10, 80, 30, 12), (11, 176, 66, 24)
の6つになります．

最初 (4, 8, 3, 3) は立方八面体なのですが，
他の5つがなぜ求まるのか私もよくわかっていません．

このように，上のやり方では準正多面体の条件は満たすが，
そこに含まれない多面体が求まることと
意味のなさそうな解も求まってしまうことが難点です．
凸であることなどから他の条件で絞ることが出来るのかな？

群論を用いるともっとエレガントな方法がありそうですが，
私は不勉強なのでちょっとお手上げです．

参考になれば幸いです．

お礼

ありがとうございます！

明日までにまとめなければならないので
今から必死に頑張ります！