オイラーの多面体定理の拡張

質問

例えば大きい立方体の天井の真ん中に
小さい立方体が乗っかって癒合している立体を考えます。
このような図形に対してオイラーの多面体定理を論じる際には、
頂点(v)・辺(e)・面(f)をどのように定義すればよいのでしょうか？
素直に数えると(v, e, f) = (16, 24, 11)となるので、
v - e + f = 3となります。
このような場合を統一的に論じるには
適切にv, e, fを定義した上で
多面体定理を拡張しないといけないと思うのですが、
私は「普通の立体は(頂点) - (辺) + (面) = 2になる」
という以上の知識をもっておりません。
その先はどうなっているのでしょうか。
どなたかご教示いただければ幸いです。

回答No.2

tintagel · ベストアンサー

オイラーの多面体定理は凸多面体のときに成立します。
（凸の多面体は２頂点を結ぶ線分がすべてその内部にある。または、となりあう内角の和がすべて１８０°より小さいとき。）

（＊立方体の結合されている内角の和は２７０°＋９０°＝３６０°ですし、頂点を結ぶと外側を通りますから凹となります。）

お尋ねの立体は凸多面体ではありませんからオイラーの多面体定理は成立しません。

（ｖ－ｅ＋ｆ）をオイラー数と呼び同じ種類の立体では同じ値になります。
（無理に２する必要もありませんし、お尋ねの図形はオイラー数が３の立体です。）

ちなみに穴の開いた図形では穴の数を示性数ｇで表します。

ｇ＝１－（ｖ－ｅ＋ｆ）／２が成立します。

参考になるでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

なるほど、「凸多面体では、オイラー数は2になる」というわけで、
それ以外の立体については、種類とオイラー数の関係を探究していけばよいわけですね。
よく理解できました。

回答No.1

yuusukekyouju

調べたわけではないので自信はありませんが、
面は一続きの線（辺）で囲まれた範囲をいうのではないでしょうか。
ですからご質問の図形の場合の
大きい立方体の天井の真ん中に小さい立方体が乗っかって癒合した面は、一続きの線（辺）で囲まれた範囲ではなく、離れた２本の線によりできたもので面の定義からはずれるのではないでしょうか。

ちなみに大きい立方体の上面の１つの頂点と小さい立方体の下面の１つの頂点を結べば面の定義に当てはまり定理の式にも当てはまるのではないでしょうか。

最後に参考に、地球儀のような球面を赤道のような線で２つの面に分けると面は２、線１、頂点０となり定理が成り立たなくなりますが、
線の定義を端が必ずあり、その端が頂点と定義すれば、この場合も定理が成り立つようになります。

お礼

ありがとうございます。
こういう立体を扱う際には、凸多面体のときと同じように「面」という語を
無頓着に用いてしまってはならず、きちんと定義を与えないといけませんね。
これからきちんと調べてみますが、
その点に気づかせてくださり、ありがとうございました。