凸多面体について

質問

3次元凸多面体で、任意の二頂点が隣り合ってる多面体は四面体のみですが、
4次元凸多面体で同様の性質を持つものはどれくらいあるのでしょうか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

＞「3次元凸多面体で、任意の二頂点が隣り合ってる多面体は四面体のみ」

そうですねえ・・・どうやるんでしょうか

頂点の個数をV，辺の数をE，面の数をVとすれば
任意の二点が隣接するというのは
任意の二つの頂点を選べば，それが辺になるということで
E = V(V-1)/2
ということだから

V-V(V-1)/2 + F = 2
F=(V^2-3V+4)/2

実はさらに

三つの整数の組(V,E,F)に対して
頂点の個数がV，辺の数がE，面の数がVである
3次元凸多面体が存在するための必要十分条件は
V-E+F=2
V<=2F-4
F<=2V-4

という定理があったりして（証明略，ぐぐったら出てきた）
これをつかうと
(V^2-3V+4)/2 <= 2V-4
これをとくと
3<=V<=4
になるが，V>3としてよいので V=4
このとき，
F = (16-12+4) = 4
E = 6
よって，
頂点4，辺6，面4となり
これは「四面体」である

こんな感じかなあ・・まあ，
「定理」の簡単な帰結でしょう．

残念なことに，「定理」の高次元版は分かってないといううわさ．

ついでにいうと，「定理」の証明は
同じ質問者の質問の「三角形分割」とかそういう近辺の問題なのと
オイラーの公式(V-E+F=2)の初等的な証明と似たような
操作的な処理を帰納的につかうとできるようだけど
私は証明を追いかけてません．たぶんそんなに難しくはなさそうで
少なくとも「オイラーの公式(V-E+F=2)の初等的な証明」の内容を知ってれば
きっとできるんじゃないかなと勝手に思ってる．

次元があがると変数が増えて
一気に自由度が上がるから
超越的な手法（ホモロジーとかそういうの）がないと厳しいように
思うけどどうなんだろう．

お礼

回答ありがとうございました。

高次元の正多面体っていうのはよく知られてますけど、凸多面体ってのは
あまり知られてないみたいですね。
三次元とは異なる様相を持ってるのかなと思って質問させていただきました。

補足

Tacosanさん kabaokabaさん

失礼しました。
凸多面体の定義から自明だと思い、証明を考えてませんでした。
厳密に証明するとkabaokabaさんのようになるのでしょうか。
ちなみにここでの三次元凸多面体の定義は、
「三次元ユークリッド空間中の有限個の点の集合の凸包のこと」
としています。点集合の凸包とは、点集合を含む最少の凸集合を意味します。
4次元凸多面体も同様に定義します。

回答No.1

Tacosan

確認したいのですが,
「3次元凸多面体で、任意の二頂点が隣り合ってる多面体は四面体のみ」
というのはどう示すのでしょうか?