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正三角形による多面体について
正三角形による多面体について いくつか お聞きします 面が奇数にはなり得ないことの証明は いかに （頂点の数-2） 対 （面の数） 対 （辺の数） が１対２対３になることの証明 （これはオイラーの定理を用いずに証明はできるのでしょうか） 正１８面体 凸型は ないことの証明は 簡素にできるレベルのものでは ないのでしょうか 宜しくお願い致します。
- sushidokei
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オイラーの多面体定理を使わずにですか。。。 正三角形がn個で構成されるn多面体は面の数がn個、 辺の数は3n/2本になります。 (辺は2つの三角形のそれぞれの辺が合わさっていますから) まず、辺の数が整数になりますから3n/2は整数です。よってnは偶数です。 奇数はありえません。 このことから面と辺の数の比率はn:3n/2=2:3 今、n面体の頂点の数をV[n],辺の数をE[n]します。 ここで四面体を考えると頂点の数V[4]は4,辺の数E[4]は6 V[4]-2:E[4]=2:6=1:3 で成立。 F=nの時に（V[n]-2):E[n]=1:3が成り立っているとすると、E[n]=3(V[n]-2) 一つの三角形を抜いて新たな頂点を作る(正四面体を一つの面に 貼り付けるイメージ)と頂点は1増え、辺は3増える。 V[n+1]=V[n]+1 E[n+1]=E[n]+3=3(V[n]-2)+3=3(V[n+1]-2) でn+1の時も成立。よってn≧4で全て成立します。 まとめると（V-2):F:E=1:2:3 この関係を使うと三角形で形成される18面体は頂点の数が11個。 一方、三角形の頂点の数は18*3=54 5個の三角形が集まる頂点が10個と4個の三角形が集まる頂点が1個で 計算が合いますが、対称性がありません。というか、全ての頂点で 対称性を求めるなら48/11が整数で無い時点で正多面体は成立しません。 よく知られている正20面体なら頂点数12、12*5=60で辻褄が合いますが、 18面体は不可です。
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- jo-zen
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以下のURLが参考になると思います。 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/571_d2.htm http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polygon.htm 一見簡単そうに見える問題ほど、どこからとっかかっていいかわkらないことが多いですね。
お礼
有り難うございました。
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お礼
詳細な解答頂きまして有り難うございました。 非常に参考になりました