オイラーの多面体定理を高校数学レベルで証明する事は出来ますか？

質問

オイラーの多面体定理を高校数学レベルで証明する事は出来ますか？
出来るならお願いします

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。
厳密とは言えないと思いますが、証明することは可能だと思います。
以下、ずらずらと書いてみます。＾＾；

オイラーの多面体定理自体は、小学校で習った「植木算」の拡張みたいなものです。
大学の数学では、グラフ理論と呼ばれますね。

まずは、証明の流れを書いておきます。
過去の質問（http://okwave.jp/qa/q5959824.html）の焼き直しですが。
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【手順１】まずは平面上で定理を証明。
平面上において多角形を張り合わせた図でオイラーの定理を考えます。
このときは、V- E+ F＝ 1となります。
（頂点の数：V、辺の数：E、面の数：Fとして）

【手順２】そして、立体へもっていく。
1)の図を多面体の「展開図もどき」と見ることで、多面体に対するオイラーの定理を示します。
多面体からどこか 1面だけを切り抜いた図を考えると 1)の図と同等になり、
切り抜いた 1面を戻すことで V- E+ F＝ 2となります。

もう少し言い換えると、
1)の図をゴムのような膜に書いておいて、くるっと包むようにして最後の 1面を作り上げる。
逆に、風船に多面体を描いておいて、どこか 1面を切り抜いてから、ぎゅっと平面に押し広げた。
というイメージでもいいかと思います。

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あとは、【手順１】が成り立つことを示します。（添付の図を参照）
ここで植木算が登場します。

・植木算（直線）では、V- E＝ 1となります。
・この両端をつなぎ合わせると、頂点が 1つ減って、面が 1つ増える（できる）ので、V- E+ F＝ 1のままとなります。
・当然、これは三角形でも言えます。
・1つの三角形に、さらにもう 1つ三角形をくっつけることを考えます。
すると、頂点は +1、辺は +2、面は +1となり、差し引き±0となります。
以下、同様に三角形をいくつくっつけても、V- E+ F＝ 1のままとなります。
・逆に、三角形をくっつけた形から辺を取り去っても辺 -1、面 -1となり、やはり差し引き±0となります。（この時点で多角形が出来上がり！）

多角形は必ずいくつかの三角形に分割できるので、平面上の任意の多角形において、V- E+ F＝ 1となることが示されます。

これで 1)を示すことができました。

お礼

ありがとうございました
一応感覚的に理解する事が出来ました
これをベストアンサーにしたいと思います

回答No.1

alice_44

辺の数について、数学的帰納法。
漸化ステップでは、頂点の数が
増えるかどうか で場合分け。

お礼

簡潔に説明してくださってありがとうございます