約数の総和の問題です

質問

「kが正整数で2^k - 1が素数であるとする。a=2^k-1(2^k - 1)のすべての約数(1とaを含む）をa[1]a[2]・・・・・a[n]とするとき、Σ(from i to n)1/a[i] を求めよ。」

という問題なのですが、2^k - 1が素数だから、kは任意の正の整数ではないですよね。例えばk=4のときは、2^k - 1=15となってしまって素数ではなくなりますよね。そう考えていくと、問題自体が成立しないように思えてくるのですが、どう考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

prome

まず確認ですが、a=2^k-1(2^k - 1)の部分は、
a=2^(k-1)(2^k - 1)つまり２の(k-1)乗かける(２のk乗－１)でいいのでしょうか？
また、Σ(from i to n)1/a[i] の部分は、1/a[1]+1/a[2]+・・・1/a[n]でしょうか？

もしそうなら、これは完全数の問題ですね。
ｋ＝２の時、ａ＝６　ｋ＝３の時、ａ＝２８で、
それぞれ６＝１＋２＋３、２８＝１＋２＋４＋７＋１４のように、
約数の総和が自分自身になるのです。
そのようになる整数を完全数といいます。

＞問題自体が成立しないように思えてくるのですが、

これは、2^k - 1が素数になるような正の整数ｋを考えてくださいという意味で、
おっしゃるようにｋ＝４の時やｋ＝８の時などは2^k - 1が素数にならないので、
考えなくていいということです。

そしてこの問題の解法は下記の参考URLの最後のあたりに出ています。
答えは２。

参考URL：

http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/jyugyo/sosuu2.html

補足

＞まず確認ですが、a=2^k-1(2^k - 1)の部分は、a=2^(k-1)(2^k - 1)つまり２の(k-1)乗かける(２のk乗－１)でいいのでしょうか？ また、Σ(from i to n)1/a[i] の部分は、1/a[1]+1/a[2]+・・・1/a[n]でしょうか？

はい、その通りです。すいません、ちょっとわかりにくかったですね。

＞これは、2^k - 1が素数になるような正の整数ｋを考えてくださいという意味で、おっしゃるようにｋ＝４の時やｋ＝８の時などは2^k - 1が素数にならないので、考えなくていいということです。

ご紹介してくださった、ページに言ってみたのですが、文字化けしていてよく見えないので、いちおう私の本に載っている解答を書いておきます。

「2^k-1が素数だから、aの約数は、1,2,2^2,・・・・,2^(k-1) , 2^k - 1 , 2(2^k - 1)・・・・,2^(k-1)(2^k - 1)
Σ(from i to n)1/a[i] = {(1 + 1/2 +・・・+1/(2^(k-1))}{1 + 1/(2^k - 1)}
= {1 - (1/2)^k}/{1 - 1/2} × 2^k/(2^k - 1)
={2(2^k - 1)}/{2^k - 1}
=2

となっているのですが、上の式から見ると、初項１，公比１／２の等比数列の和の公式を使っていますよね。でもｋ＝４の時やｋ＝８の時は2^k - 1が素数にならないので不適だということを考えあわせれば、kは自然数列ではないので、等比数列の和の公式は使えないと思うのですが。どうかんがえればよいのでしょうか。よろしくお願いします。