数列の問題

質問

ｋが正整数で(２＾ｋ)－１が素数であるとする。ａ＝{２＾(ｋ－１)}{(２＾ｋ)－１}の全ての約数(１とａを含む)をａ１、ａ２・・・ａｎとする時、Σ１／ａｉ(ｉ＝１からｎまで)を求めよ。
ｋに実際に数字を当てはめていったのですが、どのような数列になるのかよく分かりません。解答を見てみるとａの約数は、(２＾ｋ)－１だから、１、２、２＾２・・・２＾(ｋ－１)、{(２＾ｋ)－１}、２{(２＾ｋ)－１}・・・となっていて何故こうなるのか分かりません。簡単な事かもしれませんが、数学が苦手なため解けません。どなたか教えて下さい。

回答No.4

kony0

答えは２ですか？美しいですね・・・

ご質問に対する解説は、#2さんが完璧に記されていると思います。

回答No.3

hinebot

#1さんへ

>例えば、ｋ＝３のとき
>約数は１、２、４、８（以上が２＾ｎ）、７、１４、２８、５６（以上が２＾ｎ{(２＾ｋ)－１}）
>となります。

a={2^(k-1)}{(2^k)-1}
で、2^n 部分は、kより１つ少なくなります。
よって、この例では、８と５６は約数ではありません。
a=(2^2){(2^3)-1}=4×7=28 ですよ。

回答No.2

hinebot

わかり易いように文字をおきます。
p=2^(k-1),q=(2^k)-1とすると
a=pq で、q が素数だということですね。
素数は、１とその数自身以外に約数を持ちません。
このことを踏まえて、a=pqの約数を考えてみましょう。
a[1]=1, a[n]=a=pq={2^(k-1)}{(2^k)-1}
というのはまず、いいですね。
その他の約数を考えるとq=(2^k)-1 は素数でこれ以上分解できませんから、p=2^(k-1) を分解するしかないですね。
で、pを構成する素因数は2 だけですから、分解したものは
2^i の形になります。
よって、
2^1=2
2^2=4
…
2^(k-1)
は aの約数です。
一応この中に2^0=1=a[1]も含めれば
1,2,2^2,…,2^(k-1)
という数列ができあがります。これが前半部分です。

さらにこれらにq=(2^k)-1 をかけたものもaの約数になりますね。すると
q,2q,(2^2)q,…{2^(k-1)}q
すなわち、
(2^k)-1,2{(2^k)-1},(2^2){(2^k)-1},…,{2^(k-1)}{(2^k)-1}
という数列ができあがります。
これが後半部分です。ちなみに最後の項はaそのものですね。
これをあわせると
>１、２、２＾２・・・２＾(ｋ－１)、{(２＾ｋ)－１}、２{(２＾ｋ)－１}・・・
となる訳です。

ちなみに前半の
1,2,2^2,…,2^(k-1)
は、指数が0からk-1まで変化しますから、全部でk個です。
後半は、この前半にqをかけたものでしたから数は同じになり、 n=2k となることが分かります。

回答No.1

neue_reich

{２＾(ｋ－１)}{(２＾ｋ)－１}の約数は
１、(２＾ｋ)－１（←素数）、２＾１、２＾２、…、
２＾１{(２＾ｋ)－１}、２＾２{(２＾ｋ)－１}、…
となります。
よって、求める値Σ１／ａｉは
Σ２＾ｎ　＋　Σ２＾ｎ{(２＾ｋ)－１}　（ｎは０～ｋ）
となると思われます。

まず、２＾(ｋ－１)が２のｎ乗であるということと、
和を求める時にはｋはある値に固定されていることに
気づけば簡単かと思います。

例えば、ｋ＝３のとき
約数は１、２、４、８（以上が２＾ｎ）、７、１４、２８、５６（以上が２＾ｎ{(２＾ｋ)－１}）
となります。