数列の問題です

質問

数列anの初項から第n項まあでの和をSnとする。
(1)Sn=1/2n^2+nが成り立つ時(i)一般項an(ii)Σ(k=1~n)kakの値(iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1の値

(2)Sn=3an+4n+2が成り立つ時(i)a1の値(ii)an+1をan表わせ(iii)一般項anを求めよ

上の2つの問題の答えをどなたか教えてください。
特に(1)は解答の過程も教えていただけると幸いです。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No.3,No.4です。

引き続き(2)の回答

添字のn,kと整数変数のn,kを区別するため添字には[ ]を付けることにします。

(2)
S[n]=3a[n]+4n+2

(i)a[1]
a[1]=S[1]=3a[1]+4+2
2a[1]=-6
a[1]=-3 ...(答)

(ii) a[n+1]をa[n]表わせ
a[n+1]=S[n+1]-S[n]
={3a[n+1]+4(n+1)+2}-{3a[n]+4n+2}
=3a[n+1]-3a[n]+4
a[n+1]について解くと
2a[n+1]=3a[n]-4
∴a[n+1]=(3/2)a[n]-2 ...(答)

(iii)a[n]を求めよ
a[n]=(3/2)a[n-1]-2
a[n}-p=(3/2)(a[n-1]-p) ...(★)とおくと
a[n]=(3/2)a[n-1]+p-(3/2)p=(3/2)a[n-1]-(p/2)
p/2=2 ∴p=4
(★)に代入
a[n]-4=(3/2){a[n-1]-4)
={(3/2)^2}{a[n-2]-4}
={(3/2)^3}{a[n-3]-4}
…
　={(3/2)^(n-1)}{a[1]-4}
={(3/2)^(n-1)}(-3-4)
=-7(3/2)^(n-1)
∴a[n]=4-7(3/2)^(n-1) (n=1,2,3,…) ...(答)

お礼

ありがとうございました。

回答No.8

yyssaa

No.1No.7です。改めて(2)を含めて回答します。
数列anの初項から第n項まあでの和をSnとする。
(1)Sn=1/2n^2+nが成り立つ時
(i)一般項an
＞an=Sn-Sn-1=(1/2)n^2+n-{(1/2)(n-1)^2+(n-1)}=n+1/2・・・答
(ii)Σ(k=1~n)kakの値
＞Σ(k=1~n)kak=Σ(k=1~n)k(k+1/2)=Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k
=Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k
=n(n+1)(2n+1)/6+(1/2)n(n+1)/2=n(n+1)(4n+5)/12・・・答
(iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1の値
＞Σ(k=1~n)1/ak・ak+1=Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)だと勝手に解釈して
Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)=Σ(k=1~n)1/{(k+1/2)(k+3/2)}
=Σ(k=1~n){1/(k+1/2)-1/(k+3/2)}
={1/(1+1/2)-1/(1+3/2)}+{1/(2+1/2)-1/(2+3/2)}+{1/(3+1/2)-1/(3+3/2)}
+・・・・・・・・・・・・+{1/(n+1/2)-1/(n+3/2)}
={2/(2+1)-2/(2+3)}+{2/(4+1)-2/(4+3)}+{2/(6+1)-2/(6+3)}
+・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)}
=(2/3-2/5)+(2/5-2/7)+(2/7-2/9)+・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)}
=2/3-2/(2n+3)=4n/(6n+9)・・・答
(2)Sn=3an+4n+2が成り立つ時
＞紛らわしいのでSnをS[n]、anをa[n]と表します。
(i)a1の値
＞S[1]=3a[1]+4*1+2=a[1]だからa[1]=-3・・・答
(ii)an+1をan表わせ
＞S[n]=3a[n]+4n+2
S[n+1]=3a[n+1]+4(n+1)+2
a[n+1]=S[n+1]-S[n]=3a[n+1]+4(n+1)+2-[3a[n]+4n+2]
=3a[n+1]+4-3a[n]からa[n+1]=(3/2)a[n]-2・・・答
(iii)一般項anを求めよ
a[n]=(3/2)a[n-1]-2
(3/2)a[n-1]=(3/2)^2a[n-2]-2*(3/2)
(3/2)^2a[n-2]=(3/2)^3a[n-3]-2*(3/2)^2
(3/2)^3a[n-3]=(3/2)^4a[n-4]-2*(3/2)^3
(3/2)^4a[n-4]=(3/2)^5a[n-5]-2*(3/2)^4
・・・・・・・・・・・・・
(3/2)^(n-2)a[2]=(3/2)^(n-1)a[1]-2*(3/2)^(n-2)
辺々加えて共通項を消去すると
a[n]=-2-2*(3/2)-2*(3/2)^2-2*(3/2)^3・・・-2*(3/2)^(n-2)+(3/2)^(n-1)a[1]
=-3*{1+(3/2)+(3/2)^2・・・+(3/2)^(n-3)}-3*(3/2)^(n-1)
={6-7*3^(n-1)}/2^(n-1)・・・答

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

yyssaa

補足
Sn=1/2n^2+n=(1/2)n^2+nです

を見たので、取り敢えず(1)を回答します。
＞数列anの初項から第n項まあでの和をSnとする。
(1)Sn=1/2n^2+nが成り立つ時
(i)一般項an
＞an=Sn-Sn-1=(1/2)n^2+n-{(1/2)(n-1)^2+(n-1)}=n+1/2・・・答
(ii)Σ(k=1~n)kakの値
＞Σ(k=1~n)kak=Σ(k=1~n)k(k+1/2)=Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k
=Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k
=n(n+1)(2n+1)/6+(1/2)n(n+1)/2=n(n+1)(4n+5)/12・・・答
(iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1の値
＞Σ(k=1~n)1/ak・ak+1=Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)だと勝手に解釈して
Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)=Σ(k=1~n)1/{(k+1/2)(k+3/2)}
=Σ(k=1~n){1/(k+1/2)-1/(k+3/2)}
={1/(1+1/2)-1/(1+3/2)}+{1/(2+1/2)-1/(2+3/2)}+{1/(3+1/2)-1/(3+3/2)}
+・・・・・・・・・・・・+{1/(n+1/2)-1/(n+3/2)}
={2/(2+1)-2/(2+3)}+{2/(4+1)-2/(4+3)}+{2/(6+1)-2/(6+3)}
+・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)}
=(2/3-2/5)+(2/5-2/7)+(2/7-2/9)+・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)}
=2/3-2/(2n+3)=4n/(6n+9)・・・答

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

info22_

No.3～5です。

ANo.4の補足質問の回答

平文での分数式の書き方の問題に過ぎません。

分子が　4n
分母が　3(2n+3)

であれば合ってます。

お礼

補足回答ありがとうございました。

回答No.4

info22_

No.3です。

(1)の訂正
ANo.3で(1)の訂正

(i)
>a[n]= … =(1/2)(2n-1)+1=n-(1/2) ...(答)
[訂正]
a[n]= … =(1/2)(2n-1)+1=n+(1/2) or (2n+1)/2 ...(答)

(ii)
>Σ(k=1,n) ka[k]=Σ(k=1,n) k{k-(1/2)}=Σ(k=1,n) k^2 -(1/2)Σ(k=1,n) k
>=(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n(n+1)
>=n(n+1)(4n-1)/12 ...(答)
[訂正]
(ii)
Σ(k=1,n) ka[k]=Σ(k=1,n) k{k+(1/2)}=Σ(k=1,n) k^2 +(1/2)Σ(k=1,n) k
=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/4)n(n+1)
=n(n+1)(4n+51)/12 ...(答)

(iii)
>Σ(k=1,n) 1/(a[k]a[k+1])=Σ(k=1,n) 1/{(n-(1/2))(n+(/2))}
>=Σ(k=1,n) {1/(n-(1/2)) -1/(n+(1/2))}
>={2-(2/3)}+{(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+ … +{1/(n-(1/2))-1/(n+(1/2))}
>=2-1/(n+(1/2))
>=2-2/(2n+1)
>=4n/(2n+1) ...(答)

[訂正]
Σ(k=1,n) 1/(a[k]a[k+1])=Σ(k=1,n) 1/{(n+(1/2))(n+(3/2))}
=Σ(k=1,n) {1/(n+(1/2)) -1/(n+(3/2))}
={(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+{(2/7)-(2/9)}+ … +{1/(n+(1/2))-1/(n+(3/2))}
=(2/3)-1/(n+(3/2))
=(2/3)-2/(2n+3)
=(4/3)n/(2n+3) ...(答)

補足

(iii)の答えは4n/3(2n+3)でも合ってますか？

回答No.3

info22_

添字のn,kと整数変数のn,kを区別するため添字には[ ]を付けることにします。

まず,(1)だけ

(1)
>S[n]=1/2n^2+n
これは
　S[n]=(1/2)n^2+n
の意味ですか？

そうだとして
(i)
a[n]=S[n]-S[n-1]=(1/2){n^2-(n-1)^2}+n-(n-1)=(1/2)(2n-1)+1=n-(1/2) ...(答)

(ii)
Σ(k=1,n) ka[k]=Σ(k=1,n) k{k-(1/2)}=Σ(k=1,n) k^2 -(1/2)Σ(k=1,n) k
=(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n(n+1)
=n(n+1)(4n-1)/12 ...(答)

(iii)
>Σ(k=1,n)1/ak・ak+1
これは
　Σ(k=1,n)1/(a[k]a[k+1])
の意味ですか?

そうだとすると

Σ(k=1,n) 1/(a[k]a[k+1])=Σ(k=1,n) 1/{(n-(1/2))(n+(1/2))}
=Σ(k=1,n) {1/(n-(1/2)) -1/(n+(1/2))}
={2-(2/3)}+{(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+ … +{1/(n-(1/2))-1/(n+(1/2))}
=2-1/(n+(1/2))
=2-2/(2n+1)
=4n/(2n+1) ...(答)

回答No.2

spring135

(1)Sn=1/2n^2+n

i)一般項a(n)=S(n)-S(n-1)=n^2/2+n-[(n-1)^2/2+(n-1)]=(2n+1)/2

ii)Σ(k=1~n)kak=Σ(k=1~n)[k(2k+1)/2]=Σ(k=1~n)[k^2+k/2]=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/4]

=n(n+1)(4n+5)/12

iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1=Σ(k=1~n)[2/(2k+1)/(2k+3)]=Σ(k=1~n)[1/(2k+1)-1/(2k+3)]

=1/3-1/(2n+3)

(2)Sn=3an+4n+2

i)S(1)=a(1)=3a(1)+6

a(1)=-3

定義より

a(n)=S(n)-S(n-1)=3a(n)+4n+2-[3a(n-1)+4(n-1)+2]=3a(n)-3a(n-1)+4

2a(n)=3a(n-1)-4 (1)

ii)a(n+1)=(3/2)a(n)-4

収束値pがあるとするとa(n)=a(n-1)=p

2p=3p-4　　　　　　　　(2)

p=4

(1)-(2)にp=4を代入し

2[a(n)-4]=3[a(n-1)-4]　　　(3)

この関係はもっと簡単に出るかもしれない。(3)が(1)を満たすことを確認のこと

(3)より

[a(n)-4]=(3/2)[a(n-1)-4]=(3/2)^(n-1)[a(1)-4]=-7(3/2)^(n-1)

iii) a(n)=4-7(3/2)^(n-1)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

＞一般項an=Sn-Sn-1でいいのでは？
ところで
Sn=1/2n^2+n=(1/2)n^2+n？それとも
Sn=1/2n^2+n=1/(2n^2)+n？

補足

Sn=1/2n^2+n=(1/2)n^2+nです
紛らわしくしてすみません