n次元ベクトルの外積の定義

質問

ｎ次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか？
そもそもできるのでしょうか？外積は３次元特有のものでしょうか？

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか？
ご教授ください。

回答No.16

siegmund

siegmund です．

申し訳ありません．行と列が入れ違っていました．
oodaiko さん，chukanshi さんのご指摘の通りです．
ご迷惑おかけしました．
まったく，お恥ずかしい(^^;)．

何で入れ違っちゃったんだか自分でもよくわかりません．
似たような項を何度も書くのは面倒なので，
一度書いてサイクリックに添字を replace したりしたときにやりそこなったようです．
数学でも物理でも，行と列の使い方は同じですよね．

お二人には必要ありませんが，定義など一応書いておきます．
大体，ちゃんと定義など書かなかったのもいけませんでしたよね．

私がεと書いたのは次のような意味です．
(1) 添字の中に同じものがあれば，その成分はゼロ．
(2) 添字が全部異なるとき，
　　添字の順が 1,2,3,... の偶置換ならその成分は ＋1，奇置換ならその成分は －1．

例えば，
(3)　　ε[1,1] = 　0
(4)　　ε[1,2] = ＋1
(5)　　ε[2,1] = －1

(6)　　ε[1,2,3,1] = 　0
(7)　　ε[1,2,3,4] = ＋1
(8)　　ε[1,2,4,3] = －1
などです．

A,B が２次元ベクトルの時，(3)(4)(5)に注意して
(9)　　(A×B) = ε[1,1]A[1]B[1] + ε[1,2]A[1]B[2] + ε[2,1]A[2]B[1] + ε[2,2]A[2]B[2]
　　　　　　　= A[1]B[2] - A[2]B[1]

A,B が４次元ベクトルの時，(6)(7)(8)に注意して
(10)　(A×B)[1,2] = ε[1,2,3,4]A[3]B[4] + ε[1,2,4,3]A[4]B[3]
　　　　　　　　　 = A[3]B[4] - A[4]B[3]
です．添字が同じ項はもう最初から書きませんでした．
(A×B)[1,3] なら
(11)　(A×B)[1,3] = ε[1,3,2,4]A[2]B[4] + ε[1,3,4,2]A[4]B[2]
　　　　　　　　 　= A[4]B[2] - A[2]B[4]
になります．

もちろん，(A×B)[1,2] は行列形式で書いて
┌　　　　　　　　　┐
│　※　○　※　※　│
│　※　※　※　※　│
│　※　※　※　※　│
│　※　※　※　※　│
└　　　　　　　　　┘
の○のところです．

お礼

siegmund先生のご説明で、数学側も、物理側も定義に関して、相違はなかったということで、めでたしだとおもいます。
siegmund先生、ありがとうございました。
では、oodaiko先生の、連続講義のつづきを、楽しみにしてお待ち申し上げます。
よろしくご指導お願い申し上げます。
本格的な、セミナーというか、コロキウムの雰囲気になって、とても楽しいです。

補足

今日は２月１３日で、前回のoodaiko先生の投稿より、ちょうど１ヶ月がたちますが、oodaiko先生の連載は続けていただけるのでしょうか？
別に私は全くいつでもかまわないのですが。
（教えて！gooのスタッフから、締め切り催促のメールがきたりするので、ちょっと気になっているだけです。）
気長に待たせていただきます。
では、何卒よろしくお願い申し上げます。m(_ _)m