外積の定義

質問

私は外積は３次元ベクトルに対してのみ
定義されるものだと思っていました。
が、最近ネット上では他の次元に対する外積
という言葉もちらほら見かけます。

つきましては、３次元以外の外積が一般的かどうか。もし、一般的ならばその定義はどうなっているか
教えて下さい。

回答No.11

grothendieck

Eをスカラー積〈,〉が与えられているユークリッドベクトル空間とし、×はuとvの対(u,v)からEへの双線形写像で、
　u×v = -v×u
　〈u×v,w〉=〈u,v×w〉
を満たすものとします。このような代数はベクトル積代数とよばれ、空間の次元が1, 3, 7の時だけ定義されます。詳細は
　エビングハウス他、「数(下)」　（シュプリンガーフェアラーク）
を御覧になって下さい

回答No.10

jmh

ごめんなさい。
pdf へのリンクを貼ったら怒られました。
その pdf ももうないみたいです。

定義は「そういうモノが存在して同型を除いて一意」とうい定理をもとに、そういう「何か」と定義されます。

作り方（存在の証明）の１つは次のような感じです。
Ｅを有限次元Ｒ線型空間、（ｘ，ｙ，…，ｚ）をその基底とします。ｘ，ｙ，…，ｚを変数とする"非可換な"Ｒ多項式環をＴとします（つまり、このＴはテンソル代数です）。
Ｔをイデアル（ｕｖ－ｖｕ）で割った商環は、普通の可換な多項式環Ｒ［ｘ，ｙ，…，ｚ］です。
Ｔをｕｖ＋ｖｕ＝０で割ったのが外積代数です。
無限次元のときも似たような手口です。

回答No.9

jmh

∧積について、google で「algebra tensor symmetric exterior "universal property"」などと検索して、
『PDF]WOMP 2001: LINEAR ALGEBRA Reference Roman, S. Advanced Linear ... 』
（pdfファイル・161KB）を見つけました。
これの "5. Tensor product of vector spaces" は、どうですか？

この linalg.pdf の 5.1 のＵとＶにＥ＝Ｒ^３を、skew-symmetric bilinear map: Ｖ×Ｖ→Ｕ に×をあてはめると、
×＝φ・πを満たすφ：Ｅ∧Ｅ→Ｅが見つかります。
このφが双射で、φでＥ∧ＥとＥを同一視すると×と∧が同じに見えるのではないでしょうか？

回答No.8

jmh

> 残念ながら解答の趣旨が理解できませんでした。
>
後半について。

私には∧積と×積は値域が違って見えます。

∧： Ｅ×Ｅ → Ｅ∧Ｅ
×： Ｅ×Ｅ → Ｅ

同じかどうかは、同一視： Ｅ∧Ｅ → Ｅ で決まります。
でも、この同一視は、×の代わりに任意の反対称双線型全射： Ｅ×Ｅ → Ｅを持ってきてもできます。

私には∧と×が自然に同じとは思えないです。

回答No.7

shige_70

#1,#3,#4です。

ポイントにはこだわりますが、点数にこだわるのではなく、ポイントがもらえる=自分の回答が質問者さまに満足戴けた、と考えております。
今回、ポイント不要と敢えて書かせて戴いたのは、知識不十分であるにもかかわらず中途半端に回答してしまって場を混乱させてしまったため、もしポイントを戴く(質問者さまから最大級の感謝を戴く)ようなことになれば非常におこがましいと思ったからです。

お礼欄への返答とは言え回答ではないことを書かせて戴きましたことをお詫び申し上げます。

回答No.6

grothendieck

graphaffineさん、こんにちは。n次元空間の基底ベクトルをe1, e2,…enとするとでk-形式の基底はei1^ei2^…^eik (i1,…ik=1…n)なので次元はnCkとなり、k-形式とn-k形式の次元は等しくなりますが、次元が等しいだけでなく、Hodgeの＊作用素で対応付けられることが知られています。Hodgeの＊作用素は一つの微分形式に対して体積要素dVに関しての余りのようなもので
*(dyi^dyj)は
　　dyi^dyj^*(dyi^dyj) = dV
となるように決められています。ベクトルの外積にHodgeの＊作用素でベクトルが対応させられるのは3次元の場合だけですが、Hodgeの＊作用素自体は何次元でも、何次の微分形式にたいしても定義されます。

お礼

grothendieck様、御解答有り難う御座います。
でも、納得できません。わざわざ、外積代数や
微分形式を持ち出すのは結局「３次元の外積」
は自然な形（素朴なベクトル空間の中での話）では拡張できないと言う事をおっしゃりたいのでしょうか。
私にとっては外積代数は身近なものではないので、
不自然で人工的な感じがしますので、そういう結論でもいいかなと思っています。

回答No.5

jmh

> ３次元以外の外積
>
∧積は「Algebra」って書いてある本に載っていると思います。たぶん…。ｎ次元（ｎ≠３）の×積は見たことないです。私が知らないだけか、または一般的ではないと思います。

> 名前が同じだと言うだけで別物
> ３次元ベクトルに対しては一致する
>
Ｅ＝Ｒ^３で、∧と×が同じとは、×を Ｅ∧Ｅ → Ｅ に持ち上げる？と、線型同型になるという意味だと思います。
　　　　Ｅ∧Ｅ
　　∧／　　　＼～
Ｅ×Ｅ────→Ｅ
　　　　　×

お礼

jmhさま、解答有り難う御座います。
残念ながら解答の趣旨が理解できませんでした。

回答No.4

shige_70

#1,#3です。

#3でさらにわけの分からないことを書いていました。

正しくは、
『Ｒ^nにおいてn-1個のベクトルの外積がベクトル積と一致する、というのが正解のようですね。つまり、初歩的な線型代数の範囲では外積の一般的定義を与えていないということなのですね。』
でした。重ね重ね失礼致しました。

お礼

shige_70様、#1の解答は所謂「３次元の外積」の
幾何学的な自然な拡張として納得できました。
ただ、ベクトル積の原語がcross　productというのは
なんとなく納得できませんね。

ところで、貴兄はポイントにかなり拘るタイプでしょうか。解答文中でポイント云々と言う人はあまり見かけませんが。

回答No.3

shige_70

#1です。

私の認識では、外積=ベクトル積と理解していました。(内積=スカラー積も同様)
手元の線型代数の教科書にも、外積とベクトル積は同じものと記述されております。これはもちろんn次元Euclid空間Ｒ^n上での話です。

、、、と、ここまで書いてから、#2さんの参考URLのほうを参照したところ、、、『外積=ベクトル積』が成り立つのはＲ^3のみ、というよりは、Ｒ^nにおいてn-1個のベクトルのベクトル積が外積と一致する、というのが正解のようですね。つまり、初歩的な線型代数の範囲ではベクトル積の一般的定義を与えていないということなのですね。

すみません、私は幾何をやってたんですが、実は代数は得意ではないんです。しゃしゃり出てきてすみません。混乱させてしまっただけなので、ポイントは要りません。失礼致しました。

回答No.2

siegmund

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193082
が大変参考になるかと思います．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193082

お礼

御紹介有り難う御座います。実は、質問の後で検索して
この質問に気づきました。
現在、読ませてもらっている最中ですが、第一印象としては名前が同じだと言うだけで別物の話じゃないかという印象がぬぐえません。