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n次元ベクトルの外積の定義

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お礼率 89% (93/104)

n次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか?
そもそもできるのでしょうか?外積は3次元特有のものでしょうか?

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか?
ご教授ください。
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レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

oodaikoです。おまたせしました。

最初にお断りしておきます。一般の体K上で定義されたベクトル空間でも「テンソル」や「外積」に関する以下の話は同じように展開出来ます(いわゆる「外積代数」とか「グラスマン代数」とかいうやつ。)が、まあ話がわかりにくくなるだけだし、実用的には係数体としてRを使うことがほとんどなので、以下ではベクトル空間と言ったら、実数体R上の有限次元ベクトル空間R^nに限定して考えることにします。(それに以下で説明する「ベクトル積」の方は一般のベクトル空間ではなくR^nの場合に限って定義される特殊な演算なので、その意味でもR^nを考える必要がある)
もう一つお断りしておきます。以下で使う「テンソル」と言う言葉は、物理での「空間のひづみ」や「応力」の表現方法といったものよりもっと数学的に抽象化された概念です。たとえば物理での「力のベクトル」と数学での「体K上のベクトル空間」くらい違うものだと思って下さい。以下で使う「テンソル」はむしろ代数的なものです。添字地獄の物理テンソルを考えるより、数学的にはすっきりした議論になります。(とはいってもけっこうややこしいが)

●概要
2つのベクトルu,vの「外積」と「ベクトル積」はR^3においては同一のもの(uとvに対応して決まる3次元空間のベクトル)を表しているので、物理やベクトル解析の教科書では特に2つの言葉を特に区別せずに使っているのですが、これは本来別々の概念であり、実際4次元以上の空間では異なったものを表します。
大雑把に言えば、「ベクトル積」は文字通り「ベクトル」同士の積なのですが、「外積」の方は本来「テンソル」もっと詳しく言えばその中でも特殊な「交代テンソル」同士の積として定義されているものです。従って「外積」の結果は通常は「交代テンソル」となります。
R^nの「ベクトル」も「R^n上の1階の交代テンソル」と見なせるので当然それら同士の「外積」は定義できますが、その結果は「R^n上の2階の交代テンソル」となります。ところで「R^n上のk階の交代テンソル」も自然な方法で和とスカラー倍を定義することにより、R上のベクトル空間と見なせるので「次元」が定義できます。そして一般には「R^n上の2階の交代テンソル」のベクトル空間としての次元はnより大きくなります。
3次元でも「ベクトル=R^3上の1階の交代テンソル」の「外積」は「R^3上の2階の交代テンソル」になるのですが、「R^3上の2階の交代テンソル」はベクトル空間としてたまたま3次元になるため、3次元の場合はそれをR^3の「ベクトル」と同一視してしまうことが可能になるのです。そういう意味で「ベクトルの外積」は3次元の場合しか定義できない。と言ってもよいでしょう。

さて能書きが長くなりましたが「ベクトル積」と「外積」を簡単に解説してみます。

●ベクトル積
まず「ベクトル積」ですが、これはn次元ユークリッド空間のn-1個のベクトルに対して定義される「積」です。

まずR^nのn-1個のベクトルv_1,…,v_{n-1} に対し、R^nからRへの写像ψを次のように定めます。
ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x|    (x∈R^n)
この定義でdet|v_1 v_2 … v_{n-1} x| はv_1,…,v_{n-1},xを列ベクトル(行ベクトルとしても同じですが)とする行列の行列式です。
これは明らかに線形写像なのでψはR^nの双対空間(R^n)^*の要素です。ところがご存知のように(R^n)^*の任意の要素はR^nのある要素と一対一に対応し、写像は内積で表現できますから、 R^nのあるベクトルwが存在し、任意のx∈R^nに対して
<w,x>=ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x| 
と書けることになります。

この方法で、R^nのn-1個のベクトルの組{v_1,…,v_{n-1}}に対しR^nのあるベクトルwを一意的に対応させることが出来ます。そしてこのwをv_1,…,v_{n-1}の「ベクトル積」と呼び、v_1×…×v_{n-1}と書きます。
この積が線形性および交代性を持っていること、およびv_1,…,v_{n-1}のすべてに直交していることは定義からほとんど明らかですね。

3次元の場合はこの定義が普通の教科書に載っている「ベクトル積」の定義に一致することはすぐ確かめられます。4次元の場合は行列の余因子展開を使って
(a[1],a[2],a[3],a[4])×(b[1],b[2],b[3],b[4])×(c[1],c[2],c[3],c[4])=
 
┌───────────┐
  |a[2],a[3],a[4]| 
 -|b[2],b[3],b[4]| 
  |c[2],c[3],c[4]| 

  |a[1],a[3],a[4]| 
  |b[1],b[3],b[4]| 
  |c[1],c[3],c[4]| 

  |a[1],a[2],a[4]| 
 -|b[1],b[2],b[4]| 
  |c[1],c[2],c[4]| 

  |a[1],a[2],a[3]| 
  |b[1],b[2],b[3]|
  |c[1],c[2],c[3]|
└───────────┘    
となることがわかります。(横に書くとぐちゃぐちゃになるので縦ベクトルの形で書きました)

starfloraさんの回答はおそらくこれのことを言っているのだと思います。
v_1×…×v_{n-1}がv_1,…,v_{n-1}に直交すること、積の順序により右手系と左手系が定義できることについてはまさにそのとおりです。v_1×…×v_{n-1}の長さがv_1,…,v_{n-1}の張るR^nの「超菱形超立体」の「超面積」になっていることも多分そうだと思います。(starfloraさんは「超体積」と書いていますが、R^nでn-1個のベクトルが張る図形、つまりn-1次元の図形の測度ですから、イメージ的には「面積」と呼ぶ方が良いと思います。もちろん厳密に言うなら「n-1次元ルベーグ測度」と呼ぶべきですが)

もちろんR^3以外では2つのベクトルに対して「ベクトル積」を定義することは出来ません。
ところで私が今この文章を書くためのカンニングペーパーとして使っている本(『多変数解析学-古典理論への現代的アプローチ-』(M.D.スピヴァック著,斎藤正彦訳)東京図書(1972))によれば
『普通、数学では3個以上のものの「積」を考えることは少ない。3次元のときだけ、これは2つのベクトルに対して第3のベクトルが対応することになって「積」らしくなる。この理由で、「ベクトル積」は3次元の場合に限って定義できる、と見なすことも多い』
ということなので、adeptさんの回答にある教科書の著者はおそらく「ベクトル積」のことを言っているのだと思います。
(uとvに対して、すなわち「2つの」ベクトルに対して、は3次元以外では定義されないと言っているのですから)


次は「外積」です。もうちょっとお待ち下さい。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます!m(_ _)m。大学時代以来、ずーっとわからなかったことがわかりつつあり、何年ぶりかの知的感激に、浸りつつあります。(数学の本を読んでもよくわからなかったし、まわりの人間に訊いてもちゃんと答えられる人がいなかった。)わかりやすい解説で本当に助かります。(数学の本もこういう風に書かれていればよいのですが。)つづきをお待ちしておりますので、何卒よろしくご指導お願い申し上げます。
投稿日時 - 2002-01-07 23:57:09
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  • 回答No.5
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

No.4のコメントでchukanshiさんが仰るとおり、starfloraさんの方法とsiegmund先生の方法は結局同じ事です。 例えば4次元の場合、starfloraさんの方法で 3行目を<1 0 0 0>4行目を<1 0 0 0>としたもの 3行目を<0 1 0 0>4行目を<1 0 0 0>としたもの 3行目を<0 0 1 0>4 ...続きを読む
No.4のコメントでchukanshiさんが仰るとおり、starfloraさんの方法とsiegmund先生の方法は結局同じ事です。
例えば4次元の場合、starfloraさんの方法で
3行目を<1 0 0 0>4行目を<1 0 0 0>としたもの
3行目を<0 1 0 0>4行目を<1 0 0 0>としたもの
3行目を<0 0 1 0>4行目を<1 0 0 0>としたもの
3行目を<0 0 0 1>4行目を<1 0 0 0>としたもの
が、siegmund先生の二階テンソルの1行目の行ベクトルの成分を表しています。
同様に
3行目を<1 0 0 0>4行目を<0 1 0 0>としたもの
3行目を<0 1 0 0>4行目を<0 1 0 0>としたもの
3行目を<0 0 1 0>4行目を<0 1 0 0>としたもの
3行目を<0 0 0 1>4行目を<0 1 0 0>としたもの
がテンソルの2行目の行ベクトル、
3行目を<1 0 0 0>4行目を<0 0 1 0>としたもの
3行目を<0 1 0 0>4行目を<0 0 1 0>としたもの
3行目を<0 0 1 0>4行目を<0 0 1 0>としたもの
3行目を<0 0 0 1>4行目を<0 0 1 0>としたもの
がテンソルの3行目の行ベクトル、
3行目を<1 0 0 0>4行目を<0 0 0 1>としたもの
3行目を<0 1 0 0>4行目を<0 0 0 1>としたもの
3行目を<0 0 1 0>4行目を<0 0 0 1>としたもの
3行目を<0 0 0 1>4行目を<0 0 0 1>としたもの
がテンソルの4行目の行ベクトルです。

 同様にn次元の場合にも、(n-2)階テンソルのn^(n-2)個の要素がシステマティックに得られる(検算して確かめてはいません)。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます。starfloraさんが、幾何学的(+ベクトル空間内で演算を閉じさせる)アプローチ、siegmund先生が代数的アプローチをお取りになったということで、結果的には同じことになりそうですね。
投稿日時 - 2002-01-06 08:19:09
  • 回答No.6
レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

なんだかsiegmund先生に呼ばれたような気がした数学屋のoodaikoです。 内積の一般化については chukanshi さんの定義の通りです。 一方「外積」と「ベクトル積」は3次元では同じものになりますが、一般次元では異なったものになります。 詳しいことは後ほど書きますので、まだ閉じないで下さい。 ...続きを読む
なんだかsiegmund先生に呼ばれたような気がした数学屋のoodaikoです。
内積の一般化については chukanshi さんの定義の通りです。
一方「外積」と「ベクトル積」は3次元では同じものになりますが、一般次元では異なったものになります。
詳しいことは後ほど書きますので、まだ閉じないで下さい。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます。oodaikoさんのご登場を密かに期待しておりました。よろしくご指導お願い申し上げます。m(_ _)m
実は、「外積」と「ベクトル積」をちゃんと意識的に区別しないで質問してしまったので、申し訳ないです。そのへんが「わかっていない」証拠なのです。
投稿日時 - 2002-01-06 08:14:48
  • 回答No.4
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

昔,フェルミオン系の経路積分の勉強をしたときに, グラスマン代数(=外積代数?)や微分形式をちょこっとかじりました. 途中で挫折した上にもう記憶が定かでありません. 3次元ベクトル間の外積はよく知られているように ベクトル(すなわち1階のテンソル)で, A×B=(A[2]B[3]-A[3]B[2],A[3]B[1]-A[1]B[3],A[1]B[2]-A[2]B[1]) です. A[1] ...続きを読む
昔,フェルミオン系の経路積分の勉強をしたときに,
グラスマン代数(=外積代数?)や微分形式をちょこっとかじりました.
途中で挫折した上にもう記憶が定かでありません.

3次元ベクトル間の外積はよく知られているように
ベクトル(すなわち1階のテンソル)で,
A×B=(A[2]B[3]-A[3]B[2],A[3]B[1]-A[1]B[3],A[1]B[2]-A[2]B[1])
です.
A[1] はベクトル A の第1成分.
これは基本反対称テンソルεを使って
(A×B)[i]=Σε[i,p,q] A[p] B[q]
と書けます.Σはよくやるように,p,q についての和.

この方式で拡張するのだったと思います.
2次元なら,結果は0階のテンソル,すなわちスカラーで
(A×B) = A[1]B[2] - A[2]B[1]

4次元だと,結果は2階のテンソルで
(A×B)[i,j]=Σε[i,j,p,q] A[p] B[q]
で,成分表示すれば
A×B=
  ┌                               ┐
  │ 0,A[4]B[3]-A[3]B[4],A[2]B[4]-A[4]B[2],A[3]B[2]-A[2]B[3] │
  │ A[3]B[4]-A[4]B[3],0,A[4]B[1]-A[1]B[4],A[1]B[3]-A[3]B[1] │
  │ A[4]B[2]-A[2]B[4],A[1]B[4]-A[4]B[2],0,A[2]B[1]-A[1]B[2] │
  │ A[2]B[3]-A[3]B[2],A[3]B[1]-A[1]B[3],A[1]B[2]-A[2]B[1],0 │
  └                               ┘
のようですね(計算大丈夫かな,テンソル演算はよく間違うので).

以下同様で,n次元ベクトル同士の外積は n-2 階のテンソルです.

上の話でOKなら,3次元だけが特別です.
すなわち,3次元の時だけ外積演算結果がまたそのベクトル空間の要素になっています.
adept さんの引用された記述はそういう意味でしょうか.

余り自信がありません,数学のプロの方,よろしくお願いします.
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます。そういえば、フェルミオンの経路積分でグラスマン代数なんていうのが、ありましたね。微分形式も、そのからみでありましたし。微分形式自体は、一般相対性理論を勉強したときに勉強した記憶があります。そういえば、
外積みたいなのを、基本反対称テンソル、なんかレビ=チビタテンソルとかいうの(ε)を使って定義していました。アインシュタインの略記とかいってサンメーション略していましたっけ。(なんか思い出話になって申し訳ない。)
そうですね、このこの式を高次元に拡張すればよいわけですね。なるほど、代数的には非常に自然な感じがします。こう考えると、なるほど3次元だけが、おなじベクトル空間内で演算が閉じていることがわかりますね。このテンソルの「行」かなにかを取り出してくると、starfloraさんのベクトルになるような気がしますが。
siegmundさんの回答もよく拝見しますが、いろいろご存知で凄いですね。
投稿日時 - 2002-01-06 00:58:10
  • 回答No.3
レベル4

ベストアンサー率 0% (0/3)

Theory and Problems of Linear Algebra (3rd) (McGrowHill) という教科書によれば、 There is a special operation for vectors u and v in R^3 that is not defined in R^n for n!=3. ということで、3次元以外での一般的な定義はないそうです。 ...続きを読む
Theory and Problems of Linear Algebra (3rd) (McGrowHill)

という教科書によれば、

There is a special operation for vectors u and v in R^3 that is not defined in R^n for n!=3.

ということで、3次元以外での一般的な定義はないそうです。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます。「a special operation」の具体的な演算式が、そのご本でどう書かれているのか、わかるとありがたいのですが。
確かに、3次元は「特殊」という気はしますが。
投稿日時 - 2002-01-06 00:44:20
  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 48% (325/664)

参考URLの先頭に書かれている 「ここでは外積の応用を3次元空間に限ります.他の空間には外積のやさしい一般化がないのです. 」 を信用すると、 「3次元ベクトル空間以外でも定義できることはできる、が、非常にややこしい」 ようです。 ...続きを読む
参考URLの先頭に書かれている
「ここでは外積の応用を3次元空間に限ります.他の空間には外積のやさしい一般化がないのです. 」
を信用すると、
「3次元ベクトル空間以外でも定義できることはできる、が、非常にややこしい」
ようです。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます。確かに3次元での外積をそのまま拡張はできずに、複雑になることは、覚悟しています。
投稿日時 - 2002-01-06 00:32:21
  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 61% (647/1050)

    はたしてこれが、n次元空間の「外積」の定義になるのかどうか分かりませんが、三次元での外積を延長して考えてみることはできます。     直感的なイメージでは、n次元空間のなかの独立したn-1個のヴェクトルが構成する「超菱形超立体」の超体積をスカラー量として、その大きさとし、n-1個のヴェクトルの張る空間に独立な、つまり直交するヴェクトルで、先のスカラー量の長さを持つヴェクトル・プロダクトが、n ...続きを読む
 
  はたしてこれが、n次元空間の「外積」の定義になるのかどうか分かりませんが、三次元での外積を延長して考えてみることはできます。
 
  直感的なイメージでは、n次元空間のなかの独立したn-1個のヴェクトルが構成する「超菱形超立体」の超体積をスカラー量として、その大きさとし、n-1個のヴェクトルの張る空間に独立な、つまり直交するヴェクトルで、先のスカラー量の長さを持つヴェクトル・プロダクトが、n次元の外積になるのではないでしょうか。この場合、三次元のような意味の右手系とか左手系はありませんが、しかし、n-1次のヴェクトルについて、外積計算プロダクトの手順で、順序付けが行えるはずで、ここから、鏡像反転によって二つの値を取るヴェクトルの二つの方向が出てきます(つまり、n次元でも、右手系と左手系が定義できるのです)。どちらかを指定できるということです。
 
  行列式で表現すると、わたしの記憶間違いでなければ、三次元での外積は、少し変則的な表現ですが、三次の正方行列を考え、その第一行に、ヴェクトルAの成分を入れ、第二行に、ヴェクトルBの成分を入れ、第三行には、独立単位ヴェクトルi,j,kを入れて、これで行列式を計算すると、i,j成分はゼロ、そしてk成分が外積のスカラー量、つまりヴェクトルの大きさとなり、kが、そのヴェクトルの方向です。AとBは、i,jが張る空間に載る訳で、従って、A,B共に、kに当たる第三列成分はゼロのはずです。式で書くと、A(a1,a2,0),B(b1,b2,0)で、kヴェクトルの大きさは、(a1b2-a2b1)となります。ここで、A,Bという風にヴェクトルを第何列にいれるかで、一意的に、kの正負が決まってきます。i→j→kという風に右手系が定義されます。
 
  n次元の場合、n次の正方行列を考え、この行列式を考えるのです。第一行にヴェクトルA1、第二行にA2……と入れて行きます。単位ヴェクトルu(i)は、i=nの時、すべての成分が、この第n列でゼロになるように定義します。
 
  こうすると、まさに、ヴェクトルA(i)の順序で、右手系か左手系が、n次元で定義されます。また、u(n)の上の要素つまり、第n列要素が、すべてのヴェクトルでゼロであることが、まさに、それらのヴェクトルの張る空間と、単位ヴェクトルu(n)が独立であることを意味するので、この行列式は、u(n)以外の単位ヴェクトルの成分が結果的にすべてゼロになり(なぜなら、n列要素がすべてゼロなので、行列式の定義から云って、u(n)以外の単位ヴェクトルの成分はゼロになるのです。また、方向付けも、A(i)というヴェクトルの並べ方で、一意的に決まってきます。
 
  これで、n次元のヴェクトルの「外積」の定義になると思うのですが、この用語は、もっと別の数学的概念を表現するのに使われているかも知れません。
 
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

ありがとうございます。starfloraさんは、いろいろなことをご存知で凄いですね。ポイント成績いつもトップクラスですし。
starfloraさんの幾何学的なイメージは、わかりやすく、とっても気にいりました。たぶん、同じベクトル空間内で演算を閉じようとするとこうなるのでしょうね。「外積」ってやはりこういうイメージですよね。数学的には、starfloraさんのおっしゃっていることは、「純r-ベクトル」というものの特殊な場合になるようです。が、外積のイメージに近いですよね。
投稿日時 - 2002-01-06 00:40:36
  • 回答No.8
レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

外積のことを詳しく書いていると、テンソル代数の教科書を書くようなはめになってしまうので、証明などは飛ばしていきます。 それでも準備だけでずいぶん長くなってしまったので、まだ途中ですがアップします。 より詳しく知りたければ先に挙げた本(スピヴァックの『多変数解析学』)などを御覧下さい。 ●外積 (1)テンソル まず「R^n上のk階テンソル」(kは自然数)と言うものを定義します。 R^ ...続きを読む
外積のことを詳しく書いていると、テンソル代数の教科書を書くようなはめになってしまうので、証明などは飛ばしていきます。
それでも準備だけでずいぶん長くなってしまったので、まだ途中ですがアップします。
より詳しく知りたければ先に挙げた本(スピヴァックの『多変数解析学』)などを御覧下さい。

●外積

(1)テンソル
まず「R^n上のk階テンソル」(kは自然数)と言うものを定義します。

R^nのk個のベクトルに対してRの要素を対応させる写像で、かつ各変数について線形であるようなもの(多重線形という)を「R^n上のk階テンソル」と呼びます。

もう少し数学的にきちんと定義しておくと、関数T:(R^n)^k → R であって、任意のi(1≦i≦k)、およびa,b∈Rに対して

T(u_1,…,u_{i-1},a u_i + b v_i,u_{i+1},…,u_k)=
a T(u_1,…,u_{i-1},u_i,u_{i+1},…,u_k)+b T(u_1,…,u_{i-1},v_i,u_{i+1},…,u_k)

という条件を満たすものを「R^n上のk階テンソル」と呼びます。また便宜上実数は0階のテンソルと定義します。(もちろん0階のテンソルは引数を持ちませんから「R^n上の」という修飾語は必要ありません)
「R^n上のk階テンソル」全体の集合をT^k(R^n)と書いておきます。

さて、任意のS,T∈T^k(R^n)およびa,b∈Rに対して、和とスカラー倍を

(aS+bT)(u_1,…,u_k)=aS(u_1,…,u_k)+bT(u_1,…,u_k)

と定義すると、明らかにaS+bT∈T^k(R^n)です。そこでT^k(R^n)は体R上のベクトル空間と見なせます。零元は、すべての引数の組に対し0を対応させるようなk階テンソルです。


(2)テンソル積
次に、重要な演算として「テンソル積」というものを定義します。
S∈T^k(R^n)、T∈T^l(R^n)とします。SとTに対し「R^n上のk+l階テンソル」S※Tを次のように定義します。

S※T(u_1,…,u_k,u_{k+1},…,u_{k+l})=S(u_1,…,u_k)・T(u_{k+1},…,u_{k+l})

このS※T∈T^{k+l}(R^n)をSとTの「テンソル積」と呼びます。ちなみに数学の本では一般的にテンソル積の記号として○の中に×を書いたものを使います。

テンソル積は非可換であること、すなわちS※T≠T※Sであることに注意しておいて下さい。またS,S_1,S_2∈T^k(R^n),T,T_1,T_2∈T^l(R^n),U∈T^m(R^n),a∈Rとすると
S※(T_1+T_2)=S※T_1 + S※T_2
(S_1+S_2)※T=S_1※T + S_2※T
(aS)※T=S※(aT)=a(S※T)
(S※T)※U=S※(T※U)
等の等式が成り立つのはすぐわかりますね。

和の場合はS+Tが定義できるのはk=lのときだけですが、テンソル積はk≠lでも定義できることが重要です。

さて注意を一つ。テンソルの引数になるベクトル空間の次元nとテンソルの階数kとの間に直接的な関係はありません。「テンソル積」を使えばいくらでも大きなkに対するT^k(R^n)の要素が作れます。しかし実際に(および以後の話でも)重要なのはk=0,1,2,nの場合くらいです。k>nの場合なんてまず使わないと思います。(物理や工学のことは知りませんが)


(3)テンソルの例
抽象度が高いが役に立つ数学的概念は、(物理や数学等の)豊富な具体例を元に、それらを統一して包括的に議論できるよう構築されたものです。
「テンソル」もそういうものですが、そこに包括されているもののイメージをつかみやすいように、いくつかの具体例を挙げておきます。

R^nの「ベクトル」は双対空間の要素と同一視されますから、それ自身R^nからRへの線形写像と見なすことが出来ます。すなわちR^nの「ベクトル」は「R^n上の1階テンソル」と見なすことが出来ます。
「n次正方行列」は、これをR^nの双線形形式の表現と考えれば「R^n上の2階テンソル」と見なすことが出来ます。特に単位行列を考えることにより、「R^nの内積」も「R^n上の2階テンソル」であることがわかります。
「n次行列式」これはすぐわかるように「R^n上のn階テンソル」ですね。

私は物理には詳しくないので、恥を書くことを承知で物理的な「テンソル」の例も挙げておきます。物理に詳しい方のツッコミをお願いします。

「応力」はR^3上の3階のテンソルです(6階でしたっけ。だとするとこれはk>nの例ですね)。イメージとしては引数として各方向からの力(ベクトル量)をとり、それらを合成した「効果」(もちろんベクトル的な合成とは違う意味)を実数値で表現するための関数、というところかな。
「モーメント」これが今問題にしている「3次元でのベクトルの外積」として表現されるR^3上の2階のテンソルです。イメージとしては応力と同様で、力および力点の位置という2つのベクトル量に対し、それらの「効果」を表現するための関数、というところですね。他にも「渦度」のように「軸性ベクトル」として表現される量も同様なものですね。


(4)T^k(R^n)の基底と次元
先に書いたようにT^k(R^n)はR上のベクトル空間になるので次元が定義できます。また通常のベクトル空間と同様に標準基底も定めておくと便利です。

e_1,…,e_nをR^nの標準基底とし、f_1,…,f_nをその双対基底とします。すなわちf_i(e_j)=δ_{ij}(δ_{ij}はクロネッカーのデルタ)です。f_1,…,f_nはもちろんT^1(R^n)の要素です。
f_1,…,f_nから任意のk個の要素f_{i_1},…,f_{i_k}(1≦i_1,…,i_k≦n)を取り、そのテンソル積
f_{i_1}※…※f_{i_k}
を作ります。これは当然T^k(R^n)の要素です。そしてこのようなT^k(R^n)の元全体がT^k(R^n)の基底になります。従ってT^k(R^n)はn^k次元になります。


(5)交代テンソル
さて「外積」を考える上で重要なのが「交代テンソル」という特殊なテンソルです。文字通り「交代性」を持つテンソルです。(「交代」の代わりに「反対称」と呼ばれることもあります)

「交代テンソル」を定義します。
T∈T^k(R^n)であって、任意のu_1,…,u_k∈R^n とi≠jに対し
T(u_1,…,u_i,…,u_j,…,u_k)=-T(u_1,…,u_j,…,u_i,…,u_k)
を満たすようなものを「R^n上のk階交代テンソル」と呼びます。n次行列式は「R^n上のn階交代テンソル」であることは明らかですね。(実際「交代テンソル」と言う概念は「行列式」の一種の一般化です)
また、1階のテンソルはすべて交代テンソルです。すなわち「R^nのベクトル」は「R^n上の1階交代テンソル」です。

ところで一般のテンソルの場合はk>nでも定義でき、かつ実質的な意味も持ち得ますが、交代テンソルはk≦nの時しか実質的な意味を持ちません。k>nの場合、T^k(R^n)の要素が交代テンソルになるとすればそれは0だからです。
これは引数のベクトルを基底表示して、交代テンソルを基底の組に対するものに分解してみるとわかります。

「R^n上のk階交代テンソル全体の集合」はベクトル空間として「R^n上のk階テンソル全体の集合」の線形部分空間になっていることは明らかですね。そこで「R^n上のk階交代テンソル全体の集合」をΩ^k(R^n)と書いておきます。Ω^k(R^n)のベクトル空間としての次元が、今問題にしている「外積の一般化」に本質的に関わってきます。


(6)交代化
一般のテンソルT∈T^k(R^n)(k≧2)はもちろん交代的とは限りませんが、Tから交代テンソルA(T)∈Ω^k(R^n)を作ることが出来ます。このA(T)をTの「交代化」と言います。それは次のように定義します。

A(T)(u_1,…,u_k)=(1/k!)Σ_{σ∈S_k} sgnσ・T(u_{σ(1)},…,u_{σ(k)})
ただしS_kは{1,…,k}の置換全体。sgnσは置換σの符号(すなわちσが偶置換なら+1,奇置換なら-1)

なんだかややこしい定義ですが、もともと交代テンソルというのは行列式の一般化だけに、行列式の定義を思い出してもらえばそれの類推であることがわかるでしょう。

「交代化」も線形写像であることに注意して下さい。すなわちS,T∈T^k(R^n)およびa,b∈Rに対して
A(aS+bT)=a A(S) + b A(T)
となります。


さて次でいよいよ「外積」を定義します。じらしてすみません。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

本当にご親切に教えていただき、ありがとうございます。m(_ _)m。なんとかついていています。こういう本当にエッセンスだけ抜き出していただくと非常に理解しやすいです。数学の本で、定理証明の繰り返しだと、木を見て森を見ずという感じに陥ってしまい、混乱します。こうやって、oodaiko先生のエッセンスを読んで、さらに詳しく知りたくなったら、専門書をもう一度読みなおしてみようと思います。そのときは、大局がみえているので、少し楽になると思っています。本当に力作ありがとうございます。つづきを楽しみにしております。よろしくご指導お願い申し上げます。
投稿日時 - 2002-01-09 02:35:14
  • 回答No.9
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です. oodaiko さん, 身の程知らずの私の穴だらけ回答のフォローをたびたびしていただきまして 大変感謝しています. すごい力作ですね. がんばって読ませていただきます. でも,これは難しい(^^;). こんなこと言っている私が物理数学など担当することもあるのだけど, 本当に大丈夫なのかな? > 物理に詳しい方のツッコミをお願いします。 どきっ. ...続きを読む
siegmund です.
oodaiko さん,
身の程知らずの私の穴だらけ回答のフォローをたびたびしていただきまして
大変感謝しています.
すごい力作ですね.
がんばって読ませていただきます.
でも,これは難しい(^^;).
こんなこと言っている私が物理数学など担当することもあるのだけど,
本当に大丈夫なのかな?

> 物理に詳しい方のツッコミをお願いします。

どきっ.口頭試問に呼ばれたような気がした(^^;).

> 「応力」はR^3上の3階のテンソルです(6階でしたっけ。)

R^3 上の2階のテンソルですね.
応力は,(a)どの向きの面を通して,(b)どの方向に力が働く,
の2要素が必要です.
(a)の「どの向きの面」は法線で指定できますから,
p(xy) を y 軸に垂直な面(すなわち xz 平面)を通して,x 軸方向に働く力,
とすると,3行3列の行列で表現できますから2階のテンソル
p = (p_{ij}) ですね.x,y,z の代わりに 1,2,3 と書きました.
似たような事情で,歪みテンソル
e = (e_{ij})
が定義できます.
ばねの力 F と伸び(or 縮み) x が比例する(F = -kx)というのがフックの法則ですが,
3次元弾性体への拡張は p と e が多重線型(用語の使い方大丈夫ですかね?)
であるということで
p_{ij} = Σ_{kl} C_{ijkl} e_{kl}   (i,j,k,l = 1,2,3)
ですから
C = (C_{ijkl})
は4階のテンソルになります.
Cは弾性コンプライアンス定数(あるいは単に,弾性定数)と呼ばれています.
これはk>nの例になっていますね.
そろそろ,添字地獄になっています.

具体例を持ち出さないとわからないのが物理屋(私だけ?)の弱点ですな~.

どこか,また誤解しているかも知れません.
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

siegmund先生、物理側からのコメント、ありがとうございます。こうして、数学と物理の専門家、両方に助けていただくと大変心強いです。こういう感じの数学と物理の共同の「教育」みたいなことは、とても大切ですよね。これからもよろしくご指導お願い申し上げます。
私の拙い経験ですと、添字地獄は一般相対性理論のときにもでてきました。添字(よく「足」と呼んでいました)4つとかはよくでてきました。足4本。こうなると計算の見とおしが悪くなって大変でした。
投稿日時 - 2002-01-09 02:42:14
  • 回答No.14
レベル8

ベストアンサー率 34% (11/32)

chukanshiさん、No.11ではちゃんと説明しなくてすみませんでした。 そして、oodaikoさん、代わりにとても詳しい説明をしてくださいまして、 ありがとうございました。 「Cayley」を一部「Caley」と書いていたところがありますが、それは 打ち損じです。oodaikoさんのもそのようになっていたので、これは、 責任重大と思い、また、ここへ書きこませてもらうことにしました。 ...続きを読む
chukanshiさん、No.11ではちゃんと説明しなくてすみませんでした。
そして、oodaikoさん、代わりにとても詳しい説明をしてくださいまして、
ありがとうございました。
「Cayley」を一部「Caley」と書いていたところがありますが、それは
打ち損じです。oodaikoさんのもそのようになっていたので、これは、
責任重大と思い、また、ここへ書きこませてもらうことにしました。

横田一郎「群と位相」という本にCayley代数について初歩的なことが
書かれています。

あと、最近「三角形の個数」という題で質問を出しました。stomachman氏が
いま協力してくれています。暇で暇でしょうがない、あるいは、問題は簡単だが、
解けそうで解けないような問題をやりたい方は、ぜひご協力を。私事で恐縮です。
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

>No.11ではちゃんと説明しなくてすみませんでした。
いえいえ、コメント、新情報を教えていただきありがたかったです。

これからもよろしくお願い申し上げます。
投稿日時 - 2002-01-13 03:11:01
  • 回答No.15
レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

oodaikoです。siegmund先生にちょっと伺いたいのですが、(chukanshiさん本題からはずれていてすみません)No.4の回答にある基本反対称テンソルεとはどんなものなのでしょうか。 名前からすると {1,2,…,n}の要素のn個の組から{-1,0,1}への関数であって、 σを{1,2,…,n}上の置換,sinσを置換の符合(偶置換なら1,奇置換なら-1) とすると ε[i_1,i_2 ...続きを読む
oodaikoです。siegmund先生にちょっと伺いたいのですが、(chukanshiさん本題からはずれていてすみません)No.4の回答にある基本反対称テンソルεとはどんなものなのでしょうか。
名前からすると {1,2,…,n}の要素のn個の組から{-1,0,1}への関数であって、
σを{1,2,…,n}上の置換,sinσを置換の符合(偶置換なら1,奇置換なら-1) とすると
ε[i_1,i_2,…,i_n]=sigσ ((i_1,i_2,…,i_n)=(σ(1),σ(2),…,σ(n)) の場合)
        =0 (その他の場合) 
と定義される関数だと思うのですが。

そうだとするとNo.4の回答で4次元のテンソルを行列形式で書き下していますが、行と列が入れ替わっているように思うのですが。それとも横に並べて書いた部分を列ベクトルと見なすということでしょうか。

「外積」とsiegmund先生が示したテンソル演算との関連を考えていたのですが「基本反対称テンソル」の定義を勘違いしていたら話にならないので質問しました。 物理の表記法に詳しくないもので間違えていたらご指摘お願いします。


sokamoneさん
>「Cayley」を一部「Caley」と書いていたところがありますが、それは
>打ち損じです。oodaikoさんのもそのようになっていたので
すみません。「Caley代数」の文字はsokamoneさんの回答からコピペしましたf(^^;
でも英語に弱いので手打ちでも気づかずそのまま書いたと思います。(^^;;
日本語で「ケーリー代数」と書けば恥を晒さずに済んだのですが。
補足コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

>(chukanshiさん本題からはずれていてすみません)
いえいえ、「定義」は重要ですから。特に、数学者と物理学者の間では、定義をちゃんとしておかないと、議論が混乱しますから(笑)。重要です。


>そうだとするとNo.4の回答で4次元のテンソルを行列形式で書き下していますが、
>行と列が入れ替わっているように思うのですが。それとも横に並べて書いた部分を
>列ベクトルと見なすということでしょうか。
そうですね。
A×B[1,2]=ε[1,2,p,q]A[p]B[q](p,qに関しては和をとる)
=A[3]B[4]-B[3]A[4]
で、1行2列が
A[3]B[4]-B[3]A[4]
になると思います。

siegmund先生、そうですよね?
投稿日時 - 2002-01-13 20:46:08
お礼コメント
chukanshi

お礼率 89% (93/104)

すみません。「そうですね」は「行と列が入れ替わっている」に対する同意です。
物理でも、横に書くのが「行」で縦に書くのが「列」だと思います。
そこは、数学も物理も同じだとおもいます。
混乱した表現ですみません。


siegmund先生のお答えを、待ちましょう。
投稿日時 - 2002-01-13 20:55:43
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