n次元ベクトルの外積の定義

質問

ｎ次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか？
そもそもできるのでしょうか？外積は３次元特有のものでしょうか？

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか？
ご教授ください。

回答No.15

oodaiko

oodaikoです。siegmund先生にちょっと伺いたいのですが、(chukanshiさん本題からはずれていてすみません)No.4の回答にある基本反対称テンソルεとはどんなものなのでしょうか。
名前からすると {1,2,…,n}の要素のn個の組から{-1,0,1}への関数であって、
σを{1,2,…,n}上の置換,sinσを置換の符合（偶置換なら1,奇置換なら-1） とすると
ε[i_1,i_2,…,i_n]＝sigσ （(i_1,i_2,…,i_n)=(σ(1),σ(2),…,σ(n)) の場合）
　　　　　　　　＝0 （その他の場合）　
と定義される関数だと思うのですが。

そうだとするとNo.4の回答で４次元のテンソルを行列形式で書き下していますが、行と列が入れ替わっているように思うのですが。それとも横に並べて書いた部分を列ベクトルと見なすということでしょうか。

「外積」とsiegmund先生が示したテンソル演算との関連を考えていたのですが「基本反対称テンソル」の定義を勘違いしていたら話にならないので質問しました。 物理の表記法に詳しくないもので間違えていたらご指摘お願いします。

sokamoneさん
>「Cayley」を一部「Caley」と書いていたところがありますが、それは
>打ち損じです。oodaikoさんのもそのようになっていたので
すみません。「Caley代数」の文字はsokamoneさんの回答からコピペしましたf(^^;
でも英語に弱いので手打ちでも気づかずそのまま書いたと思います。(^^;;
日本語で「ケーリー代数」と書けば恥を晒さずに済んだのですが。

お礼

すみません。「そうですね」は「行と列が入れ替わっている」に対する同意です。
物理でも、横に書くのが「行」で縦に書くのが「列」だと思います。
そこは、数学も物理も同じだとおもいます。
混乱した表現ですみません。

siegmund先生のお答えを、待ちましょう。

補足

>(chukanshiさん本題からはずれていてすみません)
いえいえ、「定義」は重要ですから。特に、数学者と物理学者の間では、定義をちゃんとしておかないと、議論が混乱しますから（笑）。重要です。

>そうだとするとNo.4の回答で４次元のテンソルを行列形式で書き下していますが、
>行と列が入れ替わっているように思うのですが。それとも横に並べて書いた部分を
>列ベクトルと見なすということでしょうか。
そうですね。
A×B[1,2]=ε[1,2,p,q]A[p]B[q]（p,qに関しては和をとる）
=A[3]B[4]-B[3]A[4]
で、１行２列が
A[3]B[4]-B[3]A[4]
になると思います。

siegmund先生、そうですよね？