有理関数を部分分数展開する際に・・・

質問

今、有利関数を部分分数展開するところを学習しているのですが、ちょっと疑問に思ったことがあるので質問させていただきます。

参考書には例として以下のように乗っています。

P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2
=A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+Ex + F/(x^2+2x+2) + Gx+H(x^2+2x+2)^2
(但し(Pの次数)<(Qの次数))

のように載っています。つまりは積分ができるように変形しているにすぎないのですが、ここで１つ疑問ができたのです。
分母の次数より分子の次数が小さくしなければならにわけですが、分母が(x+3)^2や(x^2+2x+2)の次数は2時ですので次数は定数か１次になるわけです。
部分分数展開するときは分子を文字で置くのがセオリーですが、定数か１次式でおく判断はどのようにつけたらいいのでしょうか？(分子をAとおくのかAx+Bとおくのか)

ある問題では分母が２次式で分子は定数で置いたり、ある問題では分母が２次で分子は１次で置いてたりしてます。

例
1/(x-1)(x^2+1)^2
=A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2

とおくのが正解になっています。第１項は納得なのですが
第2項は分母が2次なので2次より小さければよいので定数ではいけないのか？第3項に至っては分母が4次式になるので分子を3次式もしくは2次式、定数でなくてはいいのか？というのが質問の核となる部分です。

随分ながくなりましたがどうかご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願い致します。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2
=A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+(Ex + F)/(x^2+2x+2) + (Gx+H)/(x^2+2x+2)^2
について言えば、

前半については
A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3
=(a x^2+ b x^+c)/(x+3)^3
の形に変形した場合、a,b,cが欠損なく存在すれば左辺の部分展開でよいことになります。a,b,cの項が1つでも欠損する展開はすべてを尽くしていないことになり不完全ということになります。

同様に後半についても
>(Ex + F)/(x^2+2x+2) + (Gx+H)/(x^2+2x+2)^2
=(e x^3+ f x^2+ g x + h)/(x^2+2x+2)^2
と変形した場合、
e,f,g,hが欠損なく存在すれば左辺の部分展開でよいことになります。e,f,g,hの項が1つでも欠損する展開はすべてを尽くしていないことになり不完全ということになります。
上記のA,B,～,Fのいづれかの係数をゼロとした場合、右辺のa,b,～,fの係数が１つでも欠損すれば正しい展開といえなくなります。確認してみてください。

例についても同様です。
>1/(x-1)(x^2+1)^2
=A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2

前半について
A/(x-1) これは問題なしですね。
後半について
(Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
=(b x^3+ c x`2 + d x + e)/(x^2+1)^2
の右辺のb,c,d,eがゼロでないA,B,C,D,Eの式で値が定まれば展開が正しい（左辺と右辺は恒等式）ことになります。
この観点から左辺のBやDをゼロとおいた場合、ゼロでないb,c,d,eの組が定まるか調べてみてください。
そうすれば部分分数の展開式の分子が一次式でないといけないこと（あるいは冗長であるか）が理解できると思います。
確認してみてください。

お礼

>前半について
.A/(x-1) これは問題なしですね。
>後半について
>(Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
>=(b x^3+ c x`2 + d x + e)/(x^2+1)^2
長い式を計算してうまくいかないから次数を変えてみるということをしてしまう前にこのように
演算して次数を決めておけばいいんですね。
わかりやすく説明していただきましてありがとうございました。

回答No.6

kony0

>ある問題では分母が２次式で分子は定数で置いたり、
>ある問題では分母が２次で分子は１次で置いてたりし
>てます。

これが、「分母(x+3)^2に対する分子を定数と置くこと」に対する疑問であれば、次の式変形で納得いきませんか？

a/(x+3) + (bx+c)/(x+3)^2
= a/(x+3) + {b(x+3)+(c-3b)}/(x+3)^2
= (a+b)/(x+3) + (c-3b)/(x+3)^2
= A/(x+3) + B/(x+3)^2

お礼

このように式変形すれば確かに納得です。
脱帽です。ありがとございました。

回答No.5

guuman

修正

ＦとＧを互いに素な多項式とし
ｆｇを次数がＦ・Ｇの次数未満の多項式とする
定理（ユークリッドの互除法による定理）により
適当な多項式ｆ、ｇによって
ｆｇ＝ｇ・Ｆ＋ｆ・Ｇ
とおける
両辺をＦ・Ｇで割って
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｇ／Ｇ＋ｆ／Ｆ
となる
ｇをＧで割ったあまりをｇ’、商をｇ”とし
ｆをＦで割ったあまりをｆ’、商をｆ”とすると
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｇ’／Ｇ＋ｆ’／Ｆ＋ｆ”＋ｇ”
である
ｘを∞にすればわかるように当然ｆ”＋ｇ”≡０
よって
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｇ’／Ｇ＋ｆ’／Ｆ
よって次の定理が成立する

定理
Ｆ、Ｇを互いに素な多項式とし
ｆｇを次数がＦ・Ｇの次数未満の多項式とすると
Ｇの次数未満の適当な多項式ｇと
Ｆの次数未満の適当な多項式ｆにより
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｆ／Ｆ＋ｇ／Ｇ
となる

Ｆ，Ｇ，Ｈが互いに素な多項式ならば定理を使って
ｆｇｈ／Ｆ／（Ｇ・Ｈ）＝ｆ／Ｆ＋ｇｈ／（Ｇ・Ｈ）
となりさらにこの式の右辺第2項に定理を使って
ｆｇｈ／Ｆ／Ｇ／Ｈ＝ｆ／Ｆ＋ｇ／Ｇ＋ｈ／Ｈ
がわかる
ｆｇｈ、ｆ、ｇ、ｈ、ｇｈの定義はいわずもがな

注意
ｆｇはｆ×ｇではなくひとつの多項式
ｇｈ、ｆｇｈも同じ

なお
ｈの次数がＦ＾２の次数未満であるとき
ｈをＦで割ったあまりをｈ’、商をｈ”とすると
ｈ／Ｆ＾２＝ｈ’／Ｆ＾２＋ｈ”／Ｆ

ｈ／Ｆ＾ｎの場合もこのようにして
／Ｆ、／Ｆ＾２、／Ｆ＾３、・・・
の項に分解していく

例えば
ｆｇ２ｈ３を次数がＦ・Ｇ＾２・Ｈ＾３の次数未満の多項式とすると
ｆｇ２ｈ３／Ｆ／Ｇ＾２／Ｈ＾３
＝ｆ／Ｆ＋ｇ／Ｇ＋ｇ２／Ｇ＾２＋ｈ／Ｈ＋ｈ２／Ｈ＾２＋ｈ３／Ｈ＾３
とおける
ただし
ｆは次数がＦの次数未満の多項式
ｇ、ｇ２は次数がＧの次数未満の多項式
ｈ、ｈ２、ｈ３は次数がＨの次数未満の多項式
である

お礼

長文ありがとうございました。

しかし私には少し内容が難しくてハードルが
高かったようです。もう少し勉強してから
この文章を理解しようと思います。

ありがとうございました。

回答No.4

shkwta

No.2で、「最初から m 次式と仮定」を「最初から m-1 次式と仮定」に訂正します。
------------------------
なお、3乗の場合も同様です。

n=3m-1 とし、n次の任意の整式 P(x) と、m次の任意の整式 K(x) を考えます。

P(x)を K(x)^2 で割り、商の m-1 次式 Q(x)と、余りの 2m-1 次式　R(x)を求めます。
さらに、R(x)を K(x)で割り、商の m-1 次式 S(x)と、余りの m-1 次式　T(x)を求めます。
すると、
　P(x) = {K(x)^2} Q(x) + K(x) S(x) + T(x)
両辺を K(x)^3 で割ると、
　P(x)/{K(x)^3} = Q(x)/K(x) + S(x)/{K(x)^2} + T(x)/{K(x)^3}

これを逆に使いますと、P(x)/{K(x)^3}という分数式があって、これを
　P(x)/{K(x)^3} = Q(x)/K(x) + S(x)/{K(x)^2} + T(x)/{K(x)^3}
と分解したいとき、Q(x)とS(x)とT(x)は最初から m-1 次式と仮定することができます。

お礼

このようなやり方もあるのですね。
非常に勉強になりました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

guuman

ＦとＧを互いに素な多項式とし
ｆｇを次数がＦ・Ｇの次数未満の多項式とする
定理により
適当な多項式ｆ、ｇによって
ｆｇ＝ｆ・Ｆ＋ｇ・Ｇ
とおける
両辺をＦ・Ｇで割って
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｆ／Ｇ＋ｇ／Ｆ
となる
ｆをＧで割ったあまりをｆ’、商をｆ”とし
ｇをＦで割ったあまりをｇ’、商をｇ”とすると
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｆ’／Ｇ＋ｇ’／Ｆ＋ｆ”＋ｇ”
である
ｘを∞にすればわかるように当然ｆ”＋ｇ”≡０
よって
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｆ’／Ｇ＋ｇ’／Ｆ
よって次の定理が成立する

定理
Ｆ、Ｇを互いに素な多項式とし
ｆｇを次数がＦ・Ｇの次数未満の多項式とすると
Ｇの次数未満の適当な多項式ｇと
Ｆの次数未満の適当な多項式ｆにより
ｆｇ／Ｆ／Ｇ＝ｆ／Ｆ＋ｇ／Ｇ
となる

Ｆ，Ｇ，Ｈが互いに素な多項式ならば定理を使って
ｆｇｈ／Ｆ／（Ｇ・Ｈ）＝ｆ／Ｆ＋ｇ／（Ｇ・Ｈ）
となりさらにこの式の右辺第2項に定理を使って
ｆｇｈ／Ｆ／Ｇ／Ｈ＝ｆ／Ｆ＋ｇ／Ｇ＋ｈ／Ｈ
がわかる

注意
ｆｇはｆ×ｇではなくひとつの多項式
ｆｇｈも同じ

なお
ｈの次数がＦ＾２の次数未満であるとき
ｈをＦで割ったあまりをｈ’、商をｈ”とすると
ｈ／Ｆ＾２＝ｈ’／Ｆ＾２＋ｈ”／Ｆ

ｈ／Ｆ＾ｎの場合もこのようにして
／Ｆ、／Ｆ＾２、Ｆ＾３、・・・
の項に分解していく

回答No.2

shkwta

n=2m-1 とし、n次の任意の整式 P(x) と、m次の任意の整式 K(x) を考えます。

P(x)をK(x) で割り、商の m-1 次式 Q(x)と、余りの m-1 次式　R(x)を求めます。
すると、
　P(x) = K(x) Q(x) + R(x)
両辺を K(x)^2 で割ると、
　P(x)/{K(x)^2} = Q(x)/K(x) + R(x)/{K(x)^2}

これを逆に使いますと、P(x)/{K(x)^2}という分数式があって、これを
　P(x)/{K(x)^2} = Q(x)/K(x) + R(x)/{K(x)^2}
と分解したいとき、Q(x)とR(x)は最初から m 次式と仮定することができます。

これでどうでしょう。わかりにくければ補足してください。