部分分数展開してください…

質問

f(x) = 1/{(1-x^2)^2}

f(x)を部分分数展開してください…(;_;)
できればそのやり方も教えて下さい><

回答No.6

info22_

#1です。

A#5に貼付図を付け忘れました。

失礼しました。

回答No.5

info22_

#1,#4です。

A#4で貼り付けた手書き形式でa,b,c,dの導出の過程を書く場合の図の中で
式のコピペ編集で編集漏れがありましたので訂正した改訂版を添付します。
訂正箇所は赤線のアンダーラインを引いた箇所です。
A#4に添付した図と差し替えて下さい。

a,b,c,dの計算はA#1の方法が一番スマートかと思います。
他に未定係数法といって未定文字係数を使っら部分分数展開した式の分母を払って
、その式がxについての恒等式であることを使って左辺と右辺のxの各次の係数同士を
等しいと置いた未定係数についての連立方程式を解く方法がありますが、連立方程式を
解くという手間が入り計算量が多少増えます。その分、計算ミスが入りやすくなります。
（なので検算を忘れないようにします）

その他は、上の２つの方法の折衷的な解法で、未提携数法の連立方程式を解く手間を少しでも軽減する工夫でしょう。まず、基本的な２つの解き方をしっかりものにして（確実に解けるようにして）下さい。
それから他の派生した方法も必要があれば臨機応変にやってみることも良いでしょう。

回答No.4

info22_

#1です。

A#1の補足質問

>|_(x=1) や'|_(x=1) の記号の意味かわからないのです

行平文による打ち込みではA#1の様になりますが
手書きだと図のように書きます。

f(x)|_(x=1)
縦棒を引いて、縦棒の左側の式に、縦棒の右の変数に=の後の数値を代入する。といった場合の書き方です。定積分や変数を含む式の中の変数に特定の値を代入する場合の表記法で広く使われている数学の記述法の１つです。

{1/(x+1)}'|_(x=1)
「'」は微分をとる記号です。y'はyの微分を表します。
上の場合は「1/(x+1)」の微分をとったもの「{1/(x+1)}'」つまり「-/(x+1)^2」にx=1を代入することを表す書き方です。一般的に使われている表記法ですから、覚えておいて下さい。

回答No.3

alice_44

答えは同じだが、少し手を抜く計算方法。
よく、雑紙の裏でこんな計算をする。

1/(1-x^2) を部分分数分解して、
1/(1-x^2) = (1/2)/(1-x) + (1/2)/(1+x). …(*)
(*) は、野性の勘だけでもできそうだが、
1/(1-x^2) = A/(1-x) + B/(1+x) と置いて、
両辺を 1-x 倍してから lim[x→1] と
両辺を 1+x 倍してから lim[x→-1] とを
やってみてもいい。

(*) 式を両辺二乗して、
1/(1-x^2)^2 = (1/4)/(1-x)^2 + (1/2)/(1-x)(1+x) + (1/4)/(1+x)^2.
これの右辺に再度 (*) を適用すれば、
1/(1-x^2)^2 = (1/4)/(1-x)^2 + (1/4)/(1-x) + (1/4)/(1+x) + (1/4)/(1+x)^2.

回答No.2

yyssaa

f(x) = 1/{(1-x^2)^2}=1/{(1+x)^2(1-x)^2}から
f(x)=a/(1+x)^2+b/(1-x)^2とおくと
f(x)={a(1-x)^2+b(1+x)^2}/{(1+x)^2(1-x)^2)}
={(a+b)x^2+2x(b-a)+a+b}/(1-x^2)^2
もとの式と比較して
a+b=1
(a+b)x^2+2x(b-a)=x^2+2x(b-a)=0よりa-b=x/2
a+b=1を代入して
a-(1-a)=x/2
2a=x/2+1
a=x/4+1/2=(x+2)/4
b=1-a=1-(x+2)/4=(2-x)/4
よって
f(x)={(x+2)/4(1+x)^2}+(2-x)/4(1-x)^2
ここで
(x+2)/4(1+x)^2=c/(1+x)^2+d/(1+x)とおくと
右辺={c+d(1+x)}/(1+x)^2から
c+d=2/4、d=1/4、c=1/4
よって(x+2)/4(1+x)^2=1/4(1+x)^2+1/4(1+x)
(2-x)/4(1-x)^2=e/(1-x)^2+g/(1-x)とおくと
右辺={e+g(1-x)}/(1-x)^2より
e+g=2/4、-g=-1/4、g=1/4、e=1/4
よって(2-x)/4(1-x)^2=1/4(1-x)^2+1/4(1-x)
以上より
f(x) = 1/{(1-x^2)^2}
={1/4(1+x)^2}+{1/4(1+x)}+{1/4(1-x)^2}+1/4(1-x)
となりました。

回答No.1

info22_

f(x) = 1/(1-x^2)^2
=1/{(x-1)^2*(x+1)^2}
=a/(x-1)^2 +b/(x-1) +c/(x+1)^2 +d/(x+1) …(1)
とおくと

a=f(x)(x-1)^2|_(x=1)=1/(x+1)^2|_(x=1)=1/4
b={f(x)(x-1)^2}'|_(x=1)={1/(x+1)^2}'|_(x=1)=-2/(x+1)^3|_(x=1)=-1/4
c=f(x)(x+1)^2|_(x=-1)=1/(x-1)^2|_(x=-1)=1/4
d={f(x)(x+1)^2}'|_(x=-1)={1/(x-1)^2}'|_(x=-1)=-2/(x-1)^3|_(x=-1)=1/4

(1)にa,b,c,dを代入すれば

∴f(x)=(1/4)*1/(x-1)^2 -(1/4)*1/(x-1) +(1/4)*1/(x+1)^2 +(1/4)*1/(x+1)

お礼

回答ありがとうございます!
大変お恥ずかしいのですが
|_(x=1) や'|_(x=1) の記号の意味かわからないのです(*_*)
教えていただけませんか…?