部分分数展開

質問

(4x^2+2x^3+10x^2+3x+9)/(x+1)(x^2+9)^2の部分分数展開の仕方を教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

日常の応用では、既知として済ませる部分ですが…

(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) は、
分母の因子 (x+1) と (x^2+9)^2 が互いに素なので、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) = (xの多項式)(x^2+9)^2 + (xの多項式)(x+1)　←[1]
という分解ができます。

ユークリッド互除法から派生して、
{(x+1) と (x^2+9)^2 の最大公約式} = (xの多項式)(x^2+9)^2 + (xの多項式)(x+1)
という式が成立します。いわゆる「ベズーの等式」です。
詳しくは、代数学の入門書でも読んでください。
この式の両辺を (4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) 倍すれば、
[1]の式になります。

0 = (x+1)(x^2+9)^2 - {(x^2+9)^2}(x+1)
を使って次数下げをすると、
[1]右辺の (xの多項式)(x^2+9)^2 と (xの多項式)(x+1) は
どちらも 4 次以下でよく、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9) = (定数式)(x^2+9)^2 + (xの3次式)(x+1)
と変形できます。

両辺を (x+1)(x^2+9)^2 で割れば、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) = (定数式)/(x+1) + (xの3次式)/(x^2+9)^2　←[2]
です。

右辺の (xの3次式)/(x^2+9)^2 の分子を (x^2+9) で割ると、余りつき除算で
(xの3次式) = (xの1次式)(x^2+9) + (xの1次式) となります。
これを[2]式へ戻せば、
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2) = (定数式)/(x+1) + (xの1次式)/(x^2+9) + (xの1次式)/(x^2+9)^2
と書けます。

あとは、各係数を文字で置いて、求めてゆけばよいですね。

お礼

また、間違えてしまいました。ありがとうございました。

回答No.4

info22_

No.2です。

ANo.2の補足について

>(a/(x+1))+(bx+c)/(x^2+9)+(dx+e)/(x^2+9)^2の間違いでした。
ではなくて
「(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/(x+1)(x^2+9)^2の間違いでした。」
でしょう？

>(a/(x+1))+(bx+c)/(x^2+9)+(dx+e)/(x^2+9)^2なのですが、なぜ分子が(bx+c)、(dx+e)のように置けるのでしょうか。

そのように置かないと、左辺=右辺の式が恒等的に等しくなり得ません。
分母に2次式のべき乗を含む場合の部分分数分解では、2次式のべき乗を分母に持つ項の分子は全て(ax+b）タイプの１次式になります。
なお、分母に１次式のべき乗を含む場合の部分分数分解は、１次式のべき乗を分母に持つ項の分子は全て定数こうになります。

なぜそうなるかは、左辺の分母を両辺に掛けた式が恒等式になりうるということです。つまり恒等的に等しくなるように未定係数が全て決定できるということです。

ANo1のように置いたときは、恒等的に左辺＝右辺となり得ませんから、恒等式になるようなA,B,Cは存在しません。つまり、部分分数分解の式が間違っていることを意味します。

回答No.2

info22_

>(4x^2+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2)
分子の先頭の項の「4x^2」は「4x^4」の間違いでは？

そうだとすると
(4x^4+2x^3+10x^2+3x+9)/((x+1)(x^2+9)^2)

部分分数分解は、分子が4次で、分母の5次より1次だけ次数が低いのでので、
=(a/(x+1))+(bx+c)/(x^2+9)+(dx+e)/(x^2+9)^2　...(※)
の形に部分分数分解できます。
これがxについての恒等式になるように係数a,b,c,d,eを決めてやれば良いでしょう。
分母を払っても恒等式だから、両辺のxの各次の係数同士を等しいとおいてできる連立方程式を解くなどの方法で係数を求めます。
係数の連立方程式を立てて解くのは簡単ですからやってみて下さい。

解けば
　a=9/50,b=191/50,c=-91/50,d=-129/5,e=54/5
となります。これを(※)に代入してやれば、部分分数分解は完了です。

補足

(a/(x+1))+(bx+c)/(x^2+9)+(dx+e)/(x^2+9)^2の間違いでした。すみません。(a/(x+1))+(bx+c)/(x^2+9)+(dx+e)/(x^2+9)^2なのですが、なぜ分子が(bx+c)、(dx+e)のように置けるのでしょうか。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

A/(x+1) + B/(x^2+9)^2　+ C/(x^2+9) = (4x^2+2x^3+10x^2+3x+9)/{(x+1)(x^2+9)^2}
A/(x+1) + B/(x^2+9)^2　+ C/(x^2+9) = (2x^3 + 14x^2 + 3x +9)/{(x+1)(x^2+9)^2}

両辺が一致するように A, B, C を決めるだけ。