部分分数の分け方。

質問

高校数学の勉強をしております。

部分分数に分ける時に、1/(k+1)(k+2)のように分母が2つの因数の積になっている場合は、二つの分数に分けることを考えればいいので問題ないのですが、分母が3つの因数からなるものをどう分解すべきか悩んでおります。

1/(k+1)(k+2)(k+3)のように、3つの分数に分割することが明らかなものは良いのですが、(5x+1)/(x-1)^2(x+2) のように、分母が、2次の項と1次の項の積のような形態で3つの要素からからなるものをどう分解するかで悩んでおります。

3つの分数に分割する際、その分母の作り方は、x-1と(x-1)(x+2)と(x+2)や、(x-1)と(x-1)^2と(x+2)があるのですが、どちらでもいいのでしょうか？
また、(x-1)^2と(x+2)というように二つの分数に分けることは、なぜいけないのでしょうか？

実際に恒等式を考えて計算してみると、うまくいくものといかないものがあるのですが、どういった仕組みなのでしょうか？

手がかりになるヒントをお待ちしております。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

大学で数学や物理や電気で微分方程式を解いたりするときの特性方程式や伝達関数、ラプラス変換（ラプラス逆変換）する時や複素積分や被積分関数を簡単化して積分する場合など、部分分数展開が必要になります。
そのような場合の部分分数展開は以下の展開の仕方になります。

＞3つの分数に分割する際、その分母の作り方は
＞(x-1)と(x-1)^2と(x+2)がある

高校の数学でも同じではないかと思います。

＞(x-1)^2と(x+2)というように二つの分数に分けることは、なぜいけないのでしょうか？

高校レベルでの説明は難しいですね。
分母＝０とする方程式の根のことを極（pole）といいますは、関数を解析する場合、同じ極でも１位の極、２位の極（分母が２乗の極）、３位の極(分母が３乗の極),...では関数の振る舞い（性質）が異なることが最大の原因でしょうね。

部分分数展開のばあい、未定係数法を使いますが、部分分数展開項をどのように展開したらいいかですが、
分子の次数が分母の次数より低い有理多項式は、
原則として、部分分数展開項の
分母がxの一次の項の場合は、分子は定数になリますが、
分母がxの２次の項の場合は、分子はxの一次式になります。この２次の項の分子を定数のするには、(x-1)と(x-1)^2のように１位の極の項と２位の極の項に分解する必要がありますね。

分母を因数分解したとき、複素数の極が出る場合がありますが、高校の数学での部分分数展開では、分母が実数係数の２次式、分子は１次式（ax+b）のような形になります。分母の因数分解の因子に
(x^2+4)や(x^2-x+1)のような項が混じる場合は複素極まで使っての部分分数展開は通常やりませんね。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

＞分子の次数が分母の次数より低い有理多項式は、
原則として、部分分数展開項の
分母がxの一次の項の場合は、分子は定数になリますが、
分母がxの２次の項の場合は、分子はxの一次式になります。この２次の項の分子を定数のするには、(x-1)と(x-1)^2のように１位の極の項と２位の極の項に分解する必要がありますね。
なるほど、詳しくは理解できませんが、イメージが湧きました。2次以上の項は、その分子を定数にするために分解が必要であると。これで、問題は解決しました。この度はどうもありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

分母が (x-1)^2 (x+2) なら, 分解したあとの分数の分母は (x-1), (x-1)^2, (x+2) ですね.
基本的には「互いに素な因子に分解する」ことで OK なんですが, 2乗 (以上) の因子があるときには, 例えば x/(x-1)^2 = 1/(x-1) + 1/(x-1)^2 のようにさらに分解できちゃいますんで.

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

まず互いに素な因子に分解し、2乗以上の項はさらに細かく分解しておけばオッケーということですね！
この分割法で、考えていきたいと思います。この度は、ありがとうございました！