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部分分数の解き方
次の分数式を部分分数に分解しなさいという問題で、どう解いていいかわからなくなってしまったので途中式混みで教えてください。 （１）x^2-4分のx （２）x^2+3x+2分のx-1 （３）x^2(x+1)分の1 （４）x^3+1分の1 若干式が見づらいと思うので、いちよう説明しておきます。 Ｏ分の△ Ｏが分母 △が分子です。
- gorifaiter
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先に回答がありますが、添付画像をきまぐれに作っちゃったので。 なぜそういう式変形が「思いつくの？」という疑問は、No. 1の方の回答や参考URLをご覧ください。思いつくのではなくて、計算で求めています。 ちなみに、式が見づらいことよりも、式の記述にあいまいさがあることの方が大きな問題です。例えば、(1)は x/(x^2-4) と x^2 - 4/x の両方の解釈が可能です。部分分数展開の問題ということで、前者で解釈してあります。しかし、こうしたあいまいさは余計な手間を増やすので、避けるべきでしょう。
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- imasokari
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#1#4です #4もとい、X^2の形は#2さんのおっしゃるように、XとX^2に分けれます。その場合の分子は次数に関係ないです。大変失礼しました。
お礼
とても参考になりました。ありがとうございます。
- imasokari
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#1です。 ・分母が「X^2」等の場合、それ以上分けれない 例 1/(x-1)^2 このとき、これ以上分けれない ・分子の次数は、分母の次数マイナス１ 例 1/((x^2+x+1)(x+1)) の場合は、 =(ax+b)/(x^2+x+1)+c/(x+1) とすること。 ax/(x^2+x+1)+b/(x+1) は間違い。
お礼
早返答ありがとうございます。
- info22
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同類の質問を参考にして分数式の書き方を学んでください。 式を文章で書いているようでは、計算式や部分分数の表現も出来ませんよ。 式の書き方を覚えた上で、自力でやった解答の途中計算を補足に書いてください。 その中でどこがわからないか書いてください。 問題だけの丸投げに対しての丸解答はできません。 解き方） 分母を因数分解して、部分分数に分けるだけ。 (1)x/(x^2-4)=x/((x-2)(x+2))=a/(x-2)+a/(x+2) とおいて通分し係数比較して、aを求めるだけ。 (2)(x-1)/(x^2+3x+2)=(x-1)/((x+1)(x+2))=a/(x+2)+b/(x+1) とおいて通分し係数比較して、a,bを求めるだけ。 (3)1/((x^2)(x+1))=a/x+b/x^2+c/(x+1) とおいて通分し係数比較して、a,b,cを求めるだけ。 (4)1/(x^3+1)=1/((x+1)(x^2-x+1))=a/(x+1)+(bx+c)/(x^2-x+1) とおいて通分し係数比較して、a,b,cを求めるだけ。
お礼
部分分数の解き方自体わすれてしまったので、今理解するのに必死です。上の回答については、どうしてこうなったのかをじっくり考えたいと思いますので。補足は勘弁していただけないでしょうか。 問題を丸投げしてしまったのに関しては本当に申し訳ありませんでした。
- imasokari
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あけましておめでとうございます。 部分分数とは、 1/6 ＝1/(2*3) ＝1/2ー1/3 のように、 ・「分母を因数に分解」 し、 ・「分母がその因数ごとになるような分数に分ける」 ことです。 それでは(1)だけ解答します。 x/(x^2-4) =x/((x+2)(x-2)) …(a) (a)は a/(x+1)+b/(x-1) のように部分分数にできることから、これを通分して計算すると a/(x+2)+b/(x-2) =(a(x-2)+b(x+2))/((x+2)(x-2)) =((a+b)x+(-2a+2b))/((x+2)(x-2)) …(b) (a)と(b)が同じであるから、分子を比較して x=(a+b)x+(-2a+2b) 恒等式であるから、すなわち 1=a+b 0=-2a+2b これを解くと a=1/2 b=1/2 …(c) よって、(c)より x/(x^2-4) =x/((x+2)(x-2)) =a/(x+1)+b/(x-1) =1/(2(x+1))+1/(2(x-1)) 丸投げはなりませんので、(2)以降はご自身でチャレンジしてみてください。
お礼
あけましておめでとうございます。 丸投げして大変申し訳ありませんでした。今度からはこうゆうことがないように気をつけます。
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お礼
見やすい回答ありがとうございます。 式の記述に関してはkaorineさんの例えの方が見やすいと思います。誤指摘いただきありがとうございました。