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部分分数
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次の３つの問いはどうといたらよいでしょうか？よろしくお願いします。 (1)x/1＋ｘ⁴を部分分数に展開せよ。 (2)ｘ²＋１∓√2を平方完成せよ。 (3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ ＜自分の解答＞ (1)ｘ/(ｘ²＋i)(x²－i) として、A、B、C、Dとおき、それらを求め、i/２{ｘ/(ｘ²＋i)｝－i/２{ｘ/(ｘ²－i)｝としました。 (2)(ｘ∓√2/2)²＋1/2 (3)(1)(2)の自分の結果を使い、x/1＋ｘ⁴の積分に結びつけるのでしょうか？ よろしくお願いします。
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式１： P ＋ ｚ ＝ ４ｙ（ｘｚ－１） 式２： P ＋ ａ ＝ （４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） Ｐは ２４ｎ＋１ （ｎは自然数） 型の素数であるとする。 式１の導出：L＝４ｘｙｚ-４ｙ－ｚ M＝ｘｚ－１ のとき ４／Ｌ＝１／ｘｙＬＭ ＋１／ｘｙＬ ＋１／ｙＭ が成り立ちます。 そして、Ｐ＝Ｌとおいて式を変形すれば式１が導かれます。 式２の導出： ４／Ｐ ＝１／（６ｎ＋ｋ） ＋１／Ｈ ＋１／Ｊ ４／Ｐ－１／（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ ＋１／Ｊ Ｐ＝２４ｎ＋１ とおき、 （４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ ＋１／Ｊ ここで、ＨとＪを変形して （４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝（４ｋ－ｄ－１）／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１） ＋ｄ／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１） ６ｎ＋ｋ＝４ｋｄｍ－ｄｍ（ｄ＋１） から ｋ＝ｃ、ｄ＝ａ、ｍ＝ｂ として４を両辺にかけると ２４ｎ＝１６ａｂｃ－４ｃ－４ａｂ（ａ＋１） ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａー１）－ａ－1 ２４ｎ＋１＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） Ｐ＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） となる。 素数Ｐに対して ｚ を動かして式１の解（ｘ、ｙ、ｚ） が存在するか確かめる。もし（ｘ、ｙ、ｚ）が存在するなら素数Ｐ は単位分数分解の解が存在する。 もし、式１の解が存在しないのなら、ａを動かして式２の解 （ａ、ｂ、ｃ）が存在するか確かめる。もし存在するなら素数Ｐは 単位分数の解が存在する。もし、式１と式２の単位分数分解の 解が存在しない場合、そのことを私に教えてほしいのです。 一応素数Ｐがどれぐらい３つの単位分数の解が存在するか 調べてみたのですが、少なくともＰが１０００以下の場合には 解がすべて存在することが調べて分かっています。知りたい のは式１と式２を同時に成り立たせない素数Ｐがあるかという ことが知りたいです。もし、すべての素数で反例がないことが 分かったのならエジプト分数の予想は正しいことになります。 ただ、多分反例が見つかると本人は思っています。 Ｐ＝９３７ の場合（例１） ｚ＝３、Ｐ＋３＝４ｙ（３ｘ－１）＝９４０＝４・５・４７ Ｐ＋３＝４・４７・（３・２－１） （ｘ、ｙ、ｚ）＝（２，４７，３） なので解が存在する。 Ｐ＝１００９ の場合（例２） ａ＝３、Ｐ＋３＝（１２ｂ－１）（４ｃ－４） １０１２＝４・２３・１１＝４（１２ｂ－１）（ｃ－１） （ａ、ｂ、ｃ）＝（３，２，１２）、（３，１，２４） が成り立ち Ｐ＝１００９ も解が存在する。
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