エジプト分数表示、有理数を単位分数の和で表す

質問

エジプト分数表示と呼ばれる、有理数（ただし０から１の間）を単位分数の和で表すことについて調べています。

http://www.interq.or.jp/www-user/nozato/pseudo/noteof/note5.html
によると、
p/qより小さい単位分数のうち最大のもの（1/n）をとってきて、
q/p=1/n+…
と考え、残りを同様に続けると有限回で終わることが示されています。これは欲張り展開法とも呼ばれるそうです。

次に、
http://www5d.biglobe.ne.jp/~bongo/math/math01.html
によると、
n/m が単位分数分解できることを示すのに、
「n と m が互いに素より、 an - bm = 1 となる a,b ∈ N が存在する」
ことを用いて、示されています。

あと、
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/abunsuu.htm
によると、
「リンド・パピルスの方法の推理」とよばれる次の方法があるそうです。

1.元の分母を越えない最大の３の倍数をみつける。

2.その数を３で割り、２を掛ける。
その数が求める１つの分母になる。

3.与えられた分数から２）で求められた分数を引く。
分子が１のとき、求めるもう１つの分数となる。
分子が２のとき、約分出来るときは、約分した分数が、求めるもう１つの分数となる。
約分出来ないとき、１）にもどる。
分子が３のとき１＋２に分割して２、３の分数が求められる。

で、このリンド・パピルスの方法でどの有理数も単位分数の和で表すことができるのかがわかりませんので教えていただけないでしょうか？
また、単位分数分解で知られている一般的なおもしろい結果がありましたら、教えていただけないでしょうか。

回答No.2

pori_boy · ベストアンサー

こんにちは

リンド・パピルスの方法の推理についてですが
これは任意の分数を単位分数にわけることが
できるのでしょうか？　あやしいように思います。

というのは　ステップ３まできたときに分子が1,2,3の
いずれかにならないと処理が行えないと思いますが、
例えば与えられた数が 2/19 だと

ステップ１　18を見つける
ステップ２　1/12が単位分数となる
ステップ３　2/19 - 1/12 = 5/308 ???

なお、分子が２に限定されている場合は
分母が偶数なら1つの奇数なら2つの単位分数に
常に分解できるのであまり考える価値はないかもです。

リンド・パピルスの方法（私はよくしりません）に
ついての正しい理解が必要かな、です。

お礼

ありがとうございます。
2/19 を単位分数分解ですが、
2/19 - 1/12 = 5/228

となり、リンド・パピルスの方法を少し変更すれば、

5/228 = (1+2+2)/228 = 1/228 + 1/114 + 1/114

となります。1/114が二種類出てくるので一方を、
1/n=1/(n+1) + 1/n(n+1)
を用いて、変更すれば出来ます。

回答No.1

pascal3141

単位分数分解で、自分も色々考えて一つの解法を見つけましたので、使ってみてください。任意の既約真分数で、（１）（分母）÷（分子）を行う。（２）その（商）＋１を分母とする単位分数が、求める単位分数。（３）元の分数から、（２）の単位分数をひく。（４）出てきた分数をまた（１）に戻っておこなう。以上の繰り返しで、どんな分数でも単文数の和に直せます。

お礼

その方法は、僕が書いた「欲張り展開法」と同じと思われます。