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数字の9はこれを割り切れるんですか?

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  • 質問No.120249
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お礼率 22% (2/9)

X1X2X3・・・Xn-(X1+X2+X3+・・・+Xn)は必ず9でわきれることを証明したいんですが、いったいどうすればいいのでしょうか?教えて下さいよろしくお願いします。Xはエックスの意味です。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 29% (109/371)

おっと、これは簡単。。

まず、式を簡略化して書きます。
#1 の方の設定で行きますと、x1=5, x2=3, n=2で

5 * 10 + 3 - (5 + 3) = 45 が 9 で割り切れることですね。

簡単な式にすると、(a,b,c は自然数)
10 * a + b - ( a + b ) = 9 * c
のとき、

10 * a + b - a - b = 9 * c

9 * a = 9 * c

となります。

これが、n=2 のときですが、
n=1 の時も

10 * a - a = 9 * a
です。

n=1 で証明できて、n=n+1 で上のようになります。
マイナス前の数値から1つずつ引くので、n=3 なら係数はそれぞれ、
(100 - 1) * a + (10 - 1) * b + (1 - 1) * c
となっていきます。
括弧の中は 0 または 9 で割り切れますよね。
夜なんでこんな説明ですが、どうですか?
すべての係数が9の倍数なら9で割り切れます。
お礼コメント
shyo

お礼率 22% (2/9)

夜遅くにありがとうございました。
分かりやすく解法してもらって助かります。
失礼します
投稿日時 - 2001-08-18 12:31:07
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  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 48% (14/29)

この命題は正しくないような気がしますが? たとえば・・・X1=5、X2=3、n=2の場合、 X1X2-(X1+X2)=15-8=7 で、9で割り切れません。問題を確認してください。
この命題は正しくないような気がしますが?

たとえば・・・X1=5、X2=3、n=2の場合、
X1X2-(X1+X2)=15-8=7

で、9で割り切れません。問題を確認してください。

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1002/1731)

ああなるほど,そういう意味ですか。私も何か変な気がしたのですが,fuji1さんの回答をよんで初めて意味が分かりました。 問題の条件(というか式の書き表し方のルール)がきちんと書かれていなかったんですね。 ○ Xi(i=1~n)はいずれも1桁の自然数(または0も入っていいかな)。 ○ X1X2X3…は,10進法で表した数字の各桁が左から順に,X1,X2,X3…であることを示す。 ぐらいは書い ...続きを読む
ああなるほど,そういう意味ですか。私も何か変な気がしたのですが,fuji1さんの回答をよんで初めて意味が分かりました。
問題の条件(というか式の書き表し方のルール)がきちんと書かれていなかったんですね。

○ Xi(i=1~n)はいずれも1桁の自然数(または0も入っていいかな)。
○ X1X2X3…は,10進法で表した数字の各桁が左から順に,X1,X2,X3…であることを示す。

ぐらいは書いておいていただかないと。単にX1X2X3…ではただの積になってしまいます。

証明はfuji1さんの回答でばっちりですね。
10^n-1(nは自然数)が9の倍数であることは自明だと思いますが,もしそれも示せといわれたら,例えば数学的帰納法を使って,こんなかんじになるかな。

(1) n=1のとき,10^1-1=9なので成立。
(2) n=nのとき,10^n-1=9a(aは自然数)と表せたとする。
(高校の数学でしたら,n=kのとき…などと表したほうがいいかもしれません)
このとき,10^(n+1)-1=10^n×10-1=(9a+1)×10-1=90a+9=9(10a+1)=9の倍数
よってn=n+1でも成立。
以上より任意の自然数nに対して与式は成立。(終)
(なお,10^nは10のn乗の意味です。念のため)
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