行列表示と取替写像の定理

質問

線形代数を勉強しています。

http://www22.atwiki.jp/linearalgebra/pages/53.html
このサイトの17-6-3行列表示と取替写像の命題の証明が分かりません。

具体的には、P*基底(x1',x2'...,xn') = 基底(x1,x2,...,xn) になるのが分かりません。
Pを、E→E'の写像と定義したなら、P*基底(x1,x2,...,xn) = (x1',x2'...,xn')になるのでは、と思ってしまいます。
そこが分かればわかりそうなのですが・・・。

よろしくお願いします。

回答No.6

noname#171582 · ベストアンサー

標準基底E0｛e01、e02、・・・、e0n　｝とする。

　　　　　　　　P　

E<---------------E0---------------------＞E'

P=E＾（－１）・E'

図より、P=E^（-1）・E’であることがわかる。

一方

E'（ｘ１’、ｘ２’、・・・、ｘｎ’）＾ｔ＝E（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘn）＾ｔ

E＾（－１）　E'（ｘ１’、ｘ２’、・・・、ｘｎ’）＾ｔ＝（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘn）＾ｔ

P（ｘ１’、ｘ２’、・・・、ｘｎ’）＾ｔ＝（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘn）＾ｔ・・・（１７－６－１）

回答No.7

noname#171582

標準基底E0｛e01、e02、・・・、e0n　｝とする。

　　　　　　　　P　

E<---------------E0---------------------＞E'

図より、
E=E0--->E
ゆえに
E^(-1)＝（E--->E0)

E'=（E0----->E'）

ゆえに
P=（E---＞E0)（E0---->E')
＝E^（－１）E'

P=E^（-1）・E’であることがわかる。

一方

E'（ｘ１’、ｘ２’、・・・、ｘｎ’）＾ｔ＝E（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘn）＾ｔ

E＾（－１）　E'（ｘ１’、ｘ２’、・・・、ｘｎ’）＾ｔ＝（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘn）＾ｔ

P（ｘ１’、ｘ２’、・・・、ｘｎ’）＾ｔ＝（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘn）＾ｔ・・・（１７－６－１）

回答No.5

Tacosan

P は「E の基底を E' の基底に変える」写像です.

(x1, ..., xn) と (x1', ..., xn') は同じベクトルを表す (異なる基底による) 表現ですから, 「E の基底を E' の基底に変える」効果をキャンセルしなければなりません. そのため
(x1', ..., xn') = P^-1 (x1, ..., xn)
としなければならないのです. もとの基底変換を E' = EP と書くことにすると
E' (x1', ..., xn') = EP P^-1 (x1, ..., xn) = E (x1, ..., xn)
で「同じもの」であることがわかります.

回答No.4

noname#171582

E'=PE ですね。

E'E＾（－１）＝Pですね。

P=E＾（－１）E'

回答No.3

noname#171582

E'=PE ＝=EPってところだけ分かりません・・・

E'、E,Pともに一行の行列、一列の行列なので交換可能です。

回答No.2

noname#171582

E'＝EPですね。
P=E＾（－１）E'

一方
E'(x1',x2'...,xn')＝E(ｘ１、ｘ２、・・・、xn）、

E＾（－１）E'(x1',x2'...,xn')＝(ｘ１、ｘ２、・・・、xn）

P(x1',x2'...,xn')＝(ｘ１、ｘ２、・・・、xn）

補足

ありがとうございます。
E'=PE じゃなくて、 E'=EPってところだけ分かりません・・・。

回答No.1

Tacosan

式(17-6-1) のところですか?
もしそうなら, ここの (x1, ..., xn) は基底ではありませんよ.
e1, ..., en を基底とするとき, ベクトル x を x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen と書いたとき, この式は (形式的に)
x = (e1 e2 ... en) (x1 x2 ... xn)^t
と書くことができます (^t は転置).
同じベクトルを基底 e1', ..., en' によって x = x1'e1' + ... + xn'en' と書くと
x = (e1' e2' ... en') (x1' x2' ... xn')^t
です.
この式と比較すれば, 「P によって基底が E から E' に変わる」と言えることがわかると思います.

補足

勘違いでした。基底じゃなくて基底の係数だったのですね。
でも、それでもまだ分かりません。。
P(x1'...xn') = (x1...xn)
だと、E'の基底による座標(x1'...xn')をEの基底による座標 (x1...xn)にPで写像しているってことになるから、逆なのでは・・・？と考えてしまいます。
理解力が不足していて申し訳ありません。よろしくお願いします。