多角形の内角の和

質問

正ｎ角形の内角の和が（ｎ－２）１８０°となる証明はわかるのですが、どんなｎ角形でも成り立つことの証明を知っている方、教えてください。
　任意のｎ角形（ｎ≧４）が三角形と（ｎ－１）角形に分割できることが示せれば、あとは帰納法で示せると思うのですが…

回答No.5

elmclose · ベストアンサー

No.1です。問題を読み違え、「正ｎ角形の内角の和」について証明するのだと思ってしまいました。
一般的なｎ角形についてですね。

頂点ｐ（ｉ）（ｉ＝１，２，・・・，ｎ）における内角をＩＡ（ｉ）、外角をＯＡ（ｉ）とします。
ＩＡ（ｉ）＋ＯＡ（ｉ）＝１８０度
です。

ＯＡ（１）＋ＯＡ（２）＋・・・＋ＯＡ（ｎ）＝３６０度
です。一周して戻ってきますので。

ということは、
ＩＡ（１）＋ＩＡ（２）＋・・・＋ＩＡ（ｎ）
＝ｎ＊１８０度－（ＯＡ（１）＋ＯＡ（２）＋・・・＋ＯＡ（ｎ））
＝ｎ＊１８０度－３６０度
＝（ｎ－２）１８０度

（上で、「＊」は掛け算を表わしています）

お礼

回答ありがとうございます。外角の和の公式は内角の和を示した後で示すものだとばかり思っていました。参考になります。
この回答を見て思ったのですが、内角が１８０°を超えた場合、外角ってマイナスになるんですよね。

回答No.7

elmclose

＞内角が１８０°を超えた場合、外角ってマイナスになるんですよね。

そうですね。そのあたりは、定義のしかた次第ですが、
－１８０°＜（外角）≦１８０°としておくと、いろいろと都合が良いみたいです。

回答No.6

BLUEPIXY

逆の方向から、
今１つの任意な形の３角形があるとして、
内角の和は１８０°
どれかの辺に任意な形の３角形をくっつけると
２つの角が拡張され角が＋１され（４角形になり）
内角の和は＋１８０°される。
つまり、
ｎ角形の内角の和は（ｎ－２）＊１８０　，ｎ＞＝３

回答No.4

jmh

多角形に、
Ａ　　Ｃ
／＼／＼
　　Ｂ
と角があるとき、ＡとＣを結んで辺ＡＢと辺ＢＣを削除すると、新しい多角形ができます。辺が１つ減り内角の和は１８０度減る…気がします。

回答No.3

BLUEPIXY

正ｎ角形に限らず、
いわゆる凸なｎ角形において、
＃１が成り立ちますよね
適当に凹なｎ角形を凸なｎ角形に変形しても
内角（つまりある３角形部分を変形しても）は
変わらないので、一般の場合でも成立する。

ではだめですか？

お礼

回答ありがとうございました。すぐにはピンとこないので少し考えてみます。

回答No.2

etern

elmcloseさんが仰る通り、
三角形と(n-1)角形ではなく、三角形が(n-2)個と考えましょう。
あとは数学的帰納法で、ちょちょっと！

回答No.1

elmclose

正ｎ角形のある頂点から、他のすべての頂点へ線を引きます。隣の頂点への線以外は、このｎ角形を分割しています。したがって、正ｎ角形は、（ｎ－２）個の三角形に分割されます。よって、内角の和は、（ｎ－２）１８０度となります。

書かれている方法では、
＞任意のｎ角形（ｎ≧４）が三角形と（ｎ－１）角形に
＞分割できることが示せれば
どこまで証明するかによりますが、正ｎ角形の、任意の頂点とそれと隣り合う２つの頂点がなす三角形を分割すれば、残りは、（ｎ－１）角形です（頂点を１個取ったので）。

補足

正ｎ角形の場合はそれで示せますよね。一般的なｎ角形の場合はそれでは示せないと思うのですが…
「頂点とそれと隣り合う２つの頂点がなす三角形」の内部にｎ角形の頂点があるときは、分割できないですよね。