三角形の内角の和が２７０度？

質問

友達からの依頼です。
『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』という問題がわかりません。
答えもわからないのですが、その前に三角形の内角の和が２７０度だというのもわけが分かりません。１８０度じゃないんですか？
ですので、内角の和が２７０度の説明と、答えを教えて下さい。
お願いします！！

回答No.5

Islay · ベストアンサー

三度登場（恥の上塗り）
キーボード上で計算するから間違うのですね（言い訳）

球の面積の公式は　S=4πr^2
ここで、4a=2πr
　　　　r=2a/π
r（半径）2a/πである球面の面積の1/8となります。

s=4π(2a/π)^2/8
=4π(4a^2/π^2)/8
=2a^2/π

さすがに今度こそ。

お礼

回答していただきありがとうございます。
計算式まで書いていただきどうもです！
＞三度登場（恥の上塗り）
そんなことはないですよ！この問題の“意味”がわかるだけでもすごいと思います。それに答えまで・・・。
ホントにありがとうございましたぁーー！！！

回答No.12

nozomi500

siegmund様、puni2様、わざわざ、ご指摘ありがとうございます・・・、って、私がお礼を言う場じゃない。（以前、「先生」はよしてください、ということでしたので、「様」で・・）

そういうのは聞いたことはあるんですが、単に、「私の頭の中で落ち着かない」ということですので、深く追究は不要です。

しかし、出題には何か、「なぞなぞ」みたいに、どこかに「ひっかけ」があるような気がしてならない・・・。

回答No.11

ranx

横レスです。
厳密には「リーマンの非ユークリッド幾何学」＝「球面幾何学」ではありません。
球面上の二本の大円は必ず二点で交わりますが、リーマンの非ユークリッド幾何学
では、二本の直線は一点でしか交わりません。
リーマンの非ユークリッド空間は、本来は（？）仮想的な空間なのですが、
ユークリッド空間内の球面がよくモデルとして使われます。事実、計量的には
球面幾何学と一致するのです。この場合、対称の位置にある二点を同一の点と
みなしたものになります。

回答No.10

brogie

この問題はユークリッド幾何学に端を発します。

ユークリッド幾何学には、公理がいくつかあり、その中に平行線の公理があります。
「直線外の1点を通りその直線に平行な直線は１本しかない。」
という公理です。

この1本が問題になり、
０本でもよいじゃないか？
無数でもよいじゃないか？

それぞれを公理として組み立てられたのが、それぞれ
リーマン幾何学
ロバチェフスキー幾何学
です。これを非ユークリッド幾何学といいます。

リーマン幾何学はみなさんが回答されている球面幾何学です。
ロバチェフスキー幾何学は鞍形をしている幾何学です。

siegmung先生をはじめ、お馴染みのみなさんさまのパワフル-さには、感心しています。また的確な回答は何時も参考にさせてもらっています。小生の浅学では余り役にも立ちませんので、このジャンルには久しぶりに登場しました。みなさまのご健闘を祈ります。

回答No.9

puni2

nozomi500さん：
>私には、球面上に引いた直線、というのが納得できないのですが
えーと，「球面三角法」という数学がありまして，そこでは大円のことを直線ともいうのですね。
理由その他詳しい説明は既に出ている通りですね。
球面三角法は天文学や測地学などでよく出てきます。
ただ，高校の課題というところがひっかかります。高校の数学では球面三角法は出てきません。（その先生が教科書をこえて独自に教えない限り）
課外として，より進んだ生徒のために自主ゼミ的に教えているのかなあ。
まして高校の理科の地学や，社会（地歴）の地理の授業で球面三角を教えているとしたら，ものすごい学校だと思います。
工業高校で測量の授業の一環として扱うかなあ？　でも測量士の試験でもたしか平面三角法の範囲だったと思うし…。
いずれにせよ，お友達に「補足要求」する必要があるかもしれませんね。

回答No.8

starflora

少し違う形の回答をします。

　　このサイトでは、質問の意味が曖昧であったり、質問者の言葉だけでは、何が質問なのか、分からない場合や、複数の回答の可能性があったり、よく分からないことが多々あります。それでも、回答者は、よく分からない質問の背景などを想定したり、色々と工夫して回答を書くことが多いです。

　　この問題の場合、「球面幾何学において」という前提が抜けているのかも知れません。あるいは同じことですが、「正三角形」は実は「球面正三角形」のことで、「球面」という言葉が抜けているのかも知れません。

　　これまでの回答は、この「球面幾何学」とか「球面正三角形」の表現が、問題で抜けていると判断して、それを補って回答しているのだと云えます。しかし、本当に正確に言うなら：

　　＞『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』

　　この問題に対する「正解」は、数学的には、「答えなし」です。「設問が矛盾している」、が理由です。

　　「正三角形」に「球面正三角形」を補って答えになると言うのなら、別の補いや訂正で答えが出れば、それも答えでよいはずです。困ったことに、こういう質問は、「正解」と称するものがあるのです。本当は、上の形の設問だけなら、「解なし」が正解なのですが、『「内角の和が２７０度」と言っている点だけで、これが球面幾何学の問題と分からなければおかしい』とか言う理屈を付ける人がいるかも知れません。しかし、そんな理屈は、数学の問題ではおかしいでしょう。設問について、「解釈」せよというのなら、例えば：

　　「内角の和が２７０度」……面積を求めるのに、そもそも内角の和など必要ないはずである。しかし、必要な場合もある。それは、どういう幾何学図形なのか分からない場合で、「内角の和」を示すことで、その幾何学図形が指定できるような設問の場合である……こういう風にも考えられるのです。（球面三角形というのは、どういう幾何学図形か分からないので、それに近い、内角の和を指定しないと面積が出てこない、球面上の図形を考えているのです）。

　　この場合、設問に、二カ所「書き間違い」があるとすると、別の回答がでます。（「球面正三角形」をただの「正三角形」とするのも、正確には「書き間違い」なのです）。

　　＞『内角の和が720度である一辺の長さがaの正多角形の面積を求めなさい』

　　こういう風に、問題を修正すれば、設問は数学的問題になり、回答も出てきます。内角の和が７２０度の正多角形というのは、正六角形です。この一辺をａとすると、面積は、６Ｘ（ａ^2*√３/４）つまり、ａ^2*（３√３/２）です。

　　「球面幾何学で」とか、「球面正三角形」を補って正解になるのなら、こういう風に設問が書き間違えられていると解釈して答えを出すことも可能なはずであるし、これが、「間違い」だとは、云えないのです。何故なら、元々の設問の形では、「解なし」だからです。

回答No.7

siegmund

もともとの問題が条件をきちんと述べていないのですが，
prome さんや Islay さんの言われるように，球面上の三角形とするのが
一番妥当のように思われます．
球面でなくて回転楕円体のような曲面でも(いわゆる曲率が正の曲面)いいわけですが，
面積は(例えば)楕円体の形状によってしまいます．

hangyojin さん：
> ２本の経線って展開図にしたらホントに直線なんでしょうか？ボクには曲線にしか・・・。
> その前に展開図にできるんでしょうか？？展開したら１８０度になるような・・・・・。

直線のことは後で述べます．
展開図で議論するのはよくありません．
球面を平面に展開するためには，
線の長さ，交差角度，面積などのいずれか(あるいは，いくつか)を犠牲にしないとできません．
地図にいろいろな図法があるのはこのためです．
例えば，メルカトール図法では経線と緯線の直交性を保っていますが，
ご承知のように極に近づくにつれて面積が拡大されてしまいます．
大体，極が一点にならずに線になってしまっているし...

nozomi500 さん：
> 私には、球面上に引いた直線、というのが納得できないのですが、
> そういうのもあり、の世界だとおもわなくちゃいけないのですかね。
> 直角を持っていても「正三角形」というの・・？

もともと直線は平面について規定されたものです．
それを球面に拡張するには直線の顕著な性質を手がかりにします．
大体，拡張の方式は皆そうですよね．
で，直線の顕著な性質は２点間の最短距離を与えるということです．
したがって，球面上での直線は，球面上にある２点間を最短距離で結ぶもの
(もちろん球面上のみを通ってですよ．球の内部を突っ切っちゃいけません)
ということになります．
これは，２点と球の中心との計３点で平面を作り，
その平面と球面との交差する線に沿うことになります．
いわゆる，航法の「大円コース」です．
同じ経度の２点なら，経線に沿えばＯＫ．
でも，同じ緯度の２点では緯線に沿ってはダメです(赤道は除く)．
北半球なら，メルカトール図法で見て，少し北にふくれた線が「大円コース」を与えます．
Islay さんのご回答にはこういう背景があります．
この場合の正三角形は，３辺が等しい球面三角形，ということでしょう．
球面上の三角形については，内角を A,B,C とするとき，その面積 S が
(1)　　S = (A+B+C-π)r^2
であることが知られています．
こういうことを考えると，元の問題は球面上の話と思うのが妥当でしょう．
球面上の三角形の内角の和は必ずπより大きくなっています．

nozomi500 さん：
> しかし、それを拡大していけば、曲面であれば「球」である必要はない。
> 極端な話、赤道と経線で囲まれた「三角形」の真ん中が大きく窪んでいても
> ＯＫということであれば、面積は確定しませんけれど。
それはそのとおりです．
全体のスケールはともかくとして，
内角の和だけで本質的に三角形の面積が決まるのは球面だからでしょう．

なお，馬の鞍の様な曲面(いわゆる，曲率負の曲面)上では，
三角形の内角の和はπより小さくなります．

球面三角法なんてずいぶん昔に読んだ話なので，記憶も大分薄れています．
--- 突っ込まれるとボロが出そうなことの予防線です(^^;)．

回答No.6

nozomi500

私には、球面上に引いた直線、というのが納得できないのですが、そういうのもあり、の世界だとおもわなくちゃいけないのですかね。
直角を持っていても「正三角形」というの・・？

しかし、それを拡大していけば、曲面であれば「球」である必要はない。極端な話、赤道と経線で囲まれた「三角形」の真ん中が大きく窪んでいてもＯＫということであれば、面積は確定しませんけれど。
（ひねくれた解釈だけは達者）

回答No.4

Islay

計算間違ってましたね…恥ずかしい。

4a=2πr
r=2a/π
r（半径）2a/πである球面の面積の1/8となります。

s=4π(2a/π)/8
=a

これが正解かな？

回答No.3

Islay

通常であれば三角形の内角は180度でありますし。正三角形の面積を求めるのには角度は必要ありません。

正三角形の内角が270度になるケースというのは球面上で正三角形を描いた場合ではないでしょうか。

そうだとしたら、球面の赤道上に２点、北極に１点をとり、赤道上の２点の間隔を赤道の円周の1/4に取れば内角の和が270度の正三角形を描けます。

つまり、内角が270度の正三角形の面積は、
4a=πr
r=2a/π
r（半径）2a/πである球面の面積の1/8となります。

s=4π(2a/π)＾2/8
=8a^2

となりませんか？

回答No.2

prome

これは球面幾何かもしれませんね。
非ユークリッド幾何学の一種です。

地球の表面を考えてください。経度０度と経度９０度の２つの経線と、
赤道で囲まれる北半球の部分は三角形ですね。
経線と２本とも赤道と直角に交わりますから、この２つの内角の和は
１８０度。さらに経度０度と経度９０度の線は直角に交わるので、
これを足して２７０度。つまりこの三角形の内角の和は２７０度です。
そしてこの三角形の３辺の長さはすべて等しいので、正三角形です。

お礼

回答していただきありがとうございます。
promeさんの回答を、地球儀を見ながら考えました。
＞地球の表面を考えてください。経度０度と経度９０度の２つの経線と、
赤道で囲まれる北半球の部分は三角形ですね。
２本の経線って展開図にしたらホントに直線なんでしょうか？ボクには曲線にしか・・・。
その前に展開図にできるんでしょうか？？展開したら１８０度になるような・・・・・。
あぁ・・・、頭から湯気が。
もう少し時間かけて想像してみます。