【ミクロ】企業の利潤最大化について

質問

いつもこちらのサイトでお世話になっております。
ミクロ経済の企業の利潤最大化の例で以下の文章が上がっています。
Key assumption: Firms maximize their profits. The profit is defined as revenue minus costs.
Simplest Case: single-input-single-output firm.
The firm uses its technology to transform R units of input into y units of output. The relation between input and output is described by a production function f, with y = f(R).
Let p; q denote the prices of y and R.
Then the profit is
π= max (pf(R) - qR)⇒ pf’(R＊) = q and pf’’R＊) < 0
　 R

This implicitly defines demand for R as a function in p and q, R* = R(p, q),
and supply　y*= f(R*).

π= max (pf(R) - qR)、R*がpとｑの関数であるというところまでは、理解できたのですが、なぜ　y*= f(R*)となるのでしょうか？
a production function f, with y = f(R)のこの、Rはto transform R units of an input into y units of an outputよりp,qを示していると解釈しても良いのでしょうか？

読めば読むほどこんがらがってきて、生産関数はf=(K,L)で教科書にも出てくるので、このRもそれと同じかなと思ったのですが。この例のあとに例題も乗っていてそれもよくわからなくなってきたので、質問をさせていただきました。

もしもお時間がありましたら、ご教授お願い致します。

回答No.6

statecollege · ベストアンサー

あなたは微分・積分について知識はないのでは、とは疑いましたが、計算問題では一応計算はできているので、「知識」はあるんですね。
私の回答No1へのあなたの追加質問を引用します。

＞すみません、個々の部分がわかりません。
＊＊ = dΠ/dR = pf'(R) - q
この方程式を解き、解を星印（＊）をつけてあらわすと
R* = R(p,q)=f'(-1)(q/p)

まず0 = dΠ/dR = pf'(R) - qのこの、(R)はRとおなじと考えてよいのでしょうか？
(R)をRと同じと考えて、0 = pf'(R) - qを計算すると
pf*1/R = q
R＝(p/q)fとなりました。。
どうやって計算すればよいのでしょうか？

＊＊一般に関数y=f(x)と書いたとき, ｙはｘのある関数f(x)を意味するが、f(x)の記号を知らないのでしょうか？この関数をｘで微分したとき、微分をあらわす記号としては、dy/dx, f'(x)と、二通りの表し方があります。とくに、後者のｆ’（ｘ）と書かれていることに注意、ｆと（ｘ）の間に「’」が入っています！ｘの一階の微分を表します。関数ｆ（ｘ）は英語では「エフ・オブ・エックス」と呼び、日本では「エフ・エックス」と呼びます。このｆ（ｘ）をｘの一階微分であるｆ’（ｘ）は英語では「エフ・プライム・オブ・エックス」、日本では「エフ・ダッシ・エックス」と呼んでいます。

＞R* = R(p,q)=f'(-1)(q/p)でR(p,q)は何を意味しているのでしょうか？
生産要素がpとｑではないですよね・・
（Pは生産物Yの価格でｑは生産物Rの価格ですよね？）

＊＊上の式
「0 = dΠ/dR = pf'(R) - q
この方程式を解き、解を星印（＊）をつけてあらわすと
R* = R(p,q)=f'(-1)(q/p)」
へ戻りますが、よろしいか？
pf'(R) - q = 0
pf'(R) = q
f'(R) = q/p
となることはよろしいですか。左辺は生産関数y=f(R)を微分したものf'(R)でといいます、経済学の用語では限界生産物といいます。右辺のq/pはRの価格ｑを生産物の価格ｐで割った値。この式を解くと、ｆ’（・）の逆関数ｆ’（－１）（・）を用いて、
R = f'(-1)(q/p)
となる。逆関数というのが分からなかったら、ネットで調べてください。この式を見てください。この式の右辺はqとpの関数となっていることがわかるでしょうか？それをあなたの質問ではR(p,q)と表したのです。よって
R = R(p,q)
となる。

＞(R)をRと同じと考えて、0 = pf'(R) - qを計算すると
pf*1/R = q
R＝(p/q)fとなりました。。
どうやって計算すればよいのでしょうか？

＊＊（R)とRは同じではありませんので、
０= pf'(R) - q
は
pf'1/R =q
と変形することはできません。ネットで、「関数」とはなにか？「逆関数」とは何かを検索して、勉強してください！！！！

お礼

pf'(R) - q = 0
pf'(R) = q
f'(R) = q/p
R = f'(-1)(q/p)
このー１の部分が逆関数になっていること、右辺はqとpの関数となっていることがわかっていませんでした
関数、逆関数について調べ勉強します

返信が遅くなりましたが、大変お詳しい説明をありがとうございました！

回答No.5

statecollege

回答１に補足質問がありましたが、見逃していました。
あなたの質問をみていると、どうも関数とか、微分積分とか、経済学を勉強するうえで必要な数学の基礎知識が欠けているとしか思えません。高校の数学はどこまで勉強しました？数I、数II？数IIIで教えられる微分・積分は勉強していないようですね。
経済学では、利潤最大化とか、効用最大化とか、最大化問題を解くために、関数、関数の微分・積分の知識が必要になります。足し算、引き算だけではどうしようもありません！

補足

数IIIは高校で勉強していませんでした・・
いま勉強中です

回答No.4

statecollege

>Π = py - qR
Rにy ^ 2 = Rを代入すると
Π = py - qy^2
生産物yを何単位生産するかを求めるためｙで微分
0 = p - 2qy
p = 2qy
y = p/2qより生産物yは10/2より５単位生産することになる・・

あなたのｙの求めるやり方は随分と回りくどいんですね。前半の利潤最大化で
R=25
が求まったのだから、このRの値を生産関数
y = √R
へ代入すれば、直ちに
y=√25＝5
が求まる！あなたの「なぜ　y*= f(R*)となるのでしょうか？」という質問に関係するようだ。
あなたのやり方は言ってみれば、連立方程式
2x + 3y = 7
x - y = 1
が与えられたとき、2番目の式の両辺に３を掛けたた式と、1番目の式を加えると
5x = 10
よって、x=2を得る。ｙの解を求めるためには、それを2番目の式のｘに代入し、ｙ＝１が直ちに求まるのに、あなたはｙの解を求めるのに、もう一度2番目の式の両辺に（今度は）2を掛け、それを1番目の式から差し引くことで
5y=5
よって
ｙ＝１
と、求めるようなものだ。言っていることがわかるでしょうか？

お礼

たしかに！全然気づいていませんでしたが、R=25と求まればyは５と簡単に求まりますね！ややこしく考えすぎていたのかもしれません

回答No.3

statecollege

>読めば読むほどこんがらがってきて、生産関数はf=(K,L)で教科書にも出てくるので、このRもそれと同じかなと思ったのですが。この例のあとに例題も乗っていてそれもよくわからなくなってきたので、質問をさせていただきました。

理解できたでしょうか？生産関数Y=F(K,L)もよくつかわれるのは事実ですが、経済全体のマクロの生産関数として使われる集計的生産関数（aggregate production function)です。左辺のアウトプットのYはGDP, 右辺のインプットのKは資本ストック（機械、設備、建物等）、Lは労働量です。しかし、ミクロで使われる生産関数は、農業だったら、回答No1で示したようなものが右辺のインプットとしてはいるし、産業によってインプットは異なってくるでしょう。
いずれにせよ、回答に疑問点があったら、質問を追加してください。

お礼

必ずしも生産関数がY=F(K,L)になるわけではないのですね！

回答No.2

statecollege

具体的例を作って解いてみればよい。たとえば、生産関数が
y =√R
で与えられたとする。p=10, q=1ならば、利潤を最大化するRはいくらか（つまり、何単位のRを投入すべきか）？そのとき、生産物ｙは何単位生産することになるか？解いて見せてください。

補足

y = √R　⇔　y ^ 2 = R

Π = py - qR
Π = p√R- qR
利潤を最大化するRをもとめるためにRで微分
Π = pR^(1/2)- qR
0 = 1/2p*R^(-1/2)-q
p/2*R^(-1/2) = qより
R^(-1/2) =2q/p
R = (p/2q)^2より、R＝（10/5）^2 = 25
Rは25単位生産するべきで、

Π = py - qR
Rにy ^ 2 = Rを代入すると
Π = py - qy^2
生産物yを何単位生産するかを求めるためｙで微分
0 = p - 2qy
p = 2qy
y = p/2qより生産物yは10/2より５単位生産することになる・・

感じでしょうか？
ちょっとRの計算がややこしかったですが(>_<)

回答No.1

statecollege

生産関数というのは投入される生産要素と産出される財との間の技術的関係を簡潔に表わしたもの。たとえば、野菜を生産し、市場に出荷している農家の生産関数は、たとえば、
Z=f(L,H,T)
であらわされるかもしれません。ここで、Zは生産される野菜の量、Lは投入される労働量、Hは投入される肥料の量、Tは土地の広さとする。Tの広さの農場にをもつ農家において、L時間の労働とHキログラムの肥料を投入すると、Z=f(L,H,T)単位の野菜が生産されることを示している。
あなたの問題ではy=f(L)は非常にシンプルな生産関数で、R単位の生産要素（例えば労働）を投入すると、ｙ(=f(R))単位の生産物が得られれることを示している。ｐは生産物ｙの価格、ｑは投入物Rの価格。よって、R単位を投入して、生産物がｙ単位得られたとして、そのときの利潤Πは
Π＝py - qR = pf(R) - qR
となることがわかるでしょう。したがって、利潤を最大化するRを求めたいなら、ΠをRで微分して０とおく。
0 = dΠ/dR = pf'(R) - q
この方程式を解き、解を星印（＊）をつけてあらわすと
R* = R(p,q)=f'(-1)(q/p)
であたえられる。f'(-1)(・）はf'(・）の逆関数。この利潤を最大化するR*を生産関数へ代入すると、そのときの生産物(アウトプット）y*
y*=f(R*)
となることがわかるでしょう。Rが労働量をあらわしているとするなら、R*単位の労働を雇用し、y*単位の財を生産し、市場へ出荷すれば、利潤はは最大化される、ということです。これで理解できたでしょうか？

補足

すみません、個々の部分がわかりません。
0 = dΠ/dR = pf'(R) - q
この方程式を解き、解を星印（＊）をつけてあらわすと
R* = R(p,q)=f'(-1)(q/p)

まず0 = dΠ/dR = pf'(R) - qのこの、(R)はRとおなじと考えてよいのでしょうか？

(R)をRと同じと考えて、0 = pf'(R) - qを計算すると
pf*1/R = q
R＝(p/q)fとなりました。。

どうやって計算すればよいのでしょうか？

R* = R(p,q)=f'(-1)(q/p)でR(p,q)は何を意味しているのでしょうか？
生産要素がpとｑではないですよね・・
（Pは生産物Yの価格でｑは生産物Rの価格ですよね？）