不定方程式

質問

α^4 + α^3 + α^2 + α + 1 が　平方数となるような
整数αを　導出法を明記し　全て求めよ

回答No.4

178-tall

参考 URL の
問題１３　４ 以上の自然数 ｘ に対して、x4＋ x3＋ x2＋ x ＋ 1 は平方数にはなり得ないことを示せ。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/square/square2.htm

回答No.3

staratras

No.2です。回答が少しラフだったので、αが負の場合も含めてもう少し数学の回答風にします。

α≧2　のとき、α進法の5桁の数11111(α）の平方根Rは、開平計算の結果から
整数部分が3桁の数で、上の2桁は1と0なので、R=α^2+x (xはα未満の正の整数）とおける。

R^2=α^4+2xα^2+x^2
これがα^4+α^3+α^2+α+1と等しくなるためには、α^2以上の項は下2桁に影響しないから
x^2=α+1 …（１）かつ
α^4+2xα^2=α^4+α^3+α^2　すなわち
2xα^2=α^3+α^2
2x=α+1…（２）が成り立たねばならない。
（1）-（2）よりx^2-2x=x(x-2)=0
xは正の整数だからx=2、(2）に代入してα=3
このとき11111(3)=121(10)の平方根は102(3)=11(10)で題意を満たす。
よってα≧2　のとき題意を満たすのはα=3

α=1　のとき　与式の値は5で平方数でない。
α=0　のとき　与式の値は1で平方数である。
α=-1　のとき　与式の値は1で平方数である。

α≦-2　のときαの絶対値(-α)をβとおくと
与式は　β^4-β^3+β^2-β+1
=β^4+β^2+1-(β^3+β）
=10101(β)-1010(β）
=q0q1(β) となる。ここでq=β-1

具体的に言えば、10進法では9091、2進法では1011(2)、3進法では2021(3)、4進法では3031(4)などである。下にこの4数の開平計算を示したが、これに限らず何進法でもq0q1は平方数ではないことを以下に示す。

まずβ進法で4桁の整数q0q1の平方根は開平計算から整数部分が2桁の数で、上の数字はqである。したがって平方根をRとすると、R=qβ+x=(β-1)β+x とおける。（xはβ未満の正の整数）

平方するとR^2=(β-1)^2・β^2+2x(β-1)β+x^2 = (β^2-2β+1+2x)β^2+x^2 - 2xβ
R^2=(β^2-2β+2x)β^2+β^2- 2xβ+x^2 =(β^2-2β+2x)β^2+(β-x)^2

上式でβ^2 の係数の()の数は正の整数であり。β^2より上の桁の数は下2桁に影響しないことを考えると、(β-x)^2=q1(β)=(β-1)β+1=β^2-β+1とならなければならない。

しかし(β-1)^2<β^2-β+1<β^2　なのでβにどのような2以上の整数を入れても平方数にはならない。したがってα≦-2の場合は平方数にならない。

以上をすべてまとめると、α=-1、α=0、α=3　である。

回答No.2

staratras

とりあえずα≧0の範囲で考えます。

α=0のとき　与式の値は1となり平方数です。
α=1のとき　与式の値は5となり平方数ではありません。

α≧2のとき、与式を1・α^4+1・α^3+1・α^2+1・α+1　と考えるとこれはα進法における5桁の数11111を表わしています。したがって題意はα進法の数11111(以下これを11111(α)と表記します）が平方数となるαの値を求めること、すなわち平方根が整数となるαの値を求めることです。

筆算で実際に開平したのが下の計算です。2,3,4,10進法で計算したところ、α=3のとき、すなわち11111(3)すなわち121（10）の平方根は102(3）すなわち11（10）で整数に開けました。これが唯一の解であることを以下に示します。

まずα進法の5桁の数11111の平方根はαの値にかかわらず3桁の数で初めの2桁はそれぞれ1と0です。違いがあるのは最後の1の位だけで、取り得る可能性があるのは1から5までの整数で、当然α未満です。

ここで開平法の副運算から20□(α）×□(α）の値の下2桁が11(α）とならなければなりませんが、それは□^2=α+1　と繰り上がる場合に限られます。1^1=1、2^2=4、3^2=9、4^2=16、5^2=25のうちこれを満たすのは、3進法の2^2=3+1の場合だけです。

したがって、α≧0の範囲で題意を満たすのは、α=0　α=3です。

(同様の方法でα<0のとき可能かどうか調べて見ます）

回答No.1

jcpmutura

x=α^4+α^3+α^2+α+1
とすると
α=0の時x=1=1^2だから平方数となる
α=-1の時x=1-1+1-1+1=1=1^2だから平方数となる
α=1の時x=5だから平方数でないα≠1
α=2の時x=16+8+4+2+1=31だから平方数でないα≠2
α=3の時x=81+27+9+3+1=121=11^2だから平方数となる

α≧4の時
{α^2+(α-1)/2}^2
<{α^2+(α/2)}^2
=α^4+α^3+α^2/4
<α^4+α^3+α^2+α+1=x
={α^2+(α+1)/2}^2-(α+1)(α-3)/4
<{α^2+(α+1)/2}^2
<{α^2+(α/2)+1}^2
だから
α=2nの時
α^2+(α/2)=4n^2+n<√x<4n^2+n+1=α^2+(α/2)+1
だから√xは整数でないから
xは平方数でない
α=2n+1の時
α^2+(α-1)/2=(2n+1)^2+n<√x<(2n+1)^2+n+1=α^2+(α+1)/2
だから√xは整数でないから
xは平方数でない

α≦-2の時
{α^2+(α/2)}^2
<{α^2+(α+1)/2}^2
<{α^2+(α+1)/2}^2+(α+1)(3-α)/4
=α^4+α^3+α^2+α+1=x
<{α^2+(α/2)+1}^2
<{α^2+(α+3)/2}^2
だから
α=2nの時
α^2+(α/2)=4n^2+n<√x<4n^2+n+1=α^2+(α/2)+1
だから√xは整数でないから
xは平方数でない
α=2n+1の時
α^2+(α+1)/2=(2n+1)^2+n+1<√x<(2n+1)^2+n+2=α^2+(α+3)/2
だから√xは整数でないから
xは平方数でない

∴
α=0 .or.
α=-1 .or.
α=3