条件つき確率 くじ引き

質問

いろんな確率を区別したく質問しました。
箱a,bには添付画像のようなくじが入っている。1つの箱を選び、その中から１本くじを引く。当たりくじを引いたとき、それが箱aの当たりくじである確率を求めよ。
という　問題で、事象Aを、当たりくじを引く。事象Bを、Aの箱のくじをひく。
とすると。求める確率は、事象Aが起こった時に事象Bが起こる確率、PA(B)だと思いました。
まず1番目の区別がついてない点は、この時P(A)は、aの箱を選び当たりくじを引く、とｂの箱を選び当たりくじを引く、の和事象の確率で3/10+2/5＝7/10と計算もできるし、すべてのくじの本数は15本うち当たりくじ５本で5/15＝1/3という計算もできると思いました。
2番目の区別がついてない点は、P(A∧B)とPA(B)の区別です。AとBが同時に起こったときと、Aが起こった後でBが起こる確率は、両方とも表のaの箱の列を見て、くじ１０本のうち当たりくじ３本あるから、3/10と計算して、混乱しました。
ちなみに元の問題の答えは、3/7です。自分にも２点の区別がつくように教えてください。お願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

事象Aを、当たりくじを引く。
事象Bを、Aの箱のくじをひく。
とすると
P(A)は「aの箱を選び当たりくじを引く、とｂの箱を選び当たりくじを引く、の和事象の確率」になります。aの箱を選ぶ確率は1/2でそのとき当たりくじを引く確率は3/10ですからaの箱を選び当たりくじを引く確率は3/20，bの箱を選ぶ確率は1/2でそのとき当たりくじを引く確率は2/5ですからbの箱を選び当たりくじを引く確率は1/5です。従ってP(A)=3/20+1/5=7/20
P(A∧B)は「aの箱を選び当たりくじを引く確率」になります。それは既に述べたように3/20
従ってPA(B)=P(B|A)=P(A∧B)/P(A)=(3/20)/(7/20)=3/7になります。

> まず1番目の区別がついてない点は、この時P(A)は、aの箱を選び当たりくじを引く、とｂの箱を選び当たりくじを引く、の和事象の確率で3/10+2/5＝7/10と計算もできるし、

これが違うことは既に述べました。

> すべてのくじの本数は15本うち当たりくじ５本で5/15＝1/3という計算もできると思いました。

これは考え方がまずいです。
下の表の一番右の列の計のところを縦に見て7/20ですね。
なぜ下の表の様にbの数を増やすと言えば，aとbを選ぶ確率が同じだから，aとbに入っているくじの数を同じにしないと不公平だからです。

> 2番目の区別がついてない点は、P(A∧B)とPA(B)の区別です。AとBが同時に起こったときと、Aが起こった後でBが起こる確率は、両方とも表のaの箱の列を見て、くじ１０本のうち当たりくじ３本あるから、3/10と計算して、混乱しました。

計算はどちらも違うことは既に述べました。
P(A∧B)は「AとBが同時に起こったときの確率」ということはその通りです。
PA(B)は「Aが起こった後でBが起こる確率」ではなくて「Aが起こったという前提でBが起こる確率」です。下の表のあたりのところを横に見て3/7ですね。

＿＿＿__a__b_計
はずれ__7__6_13
あたり__3__4__7
計＿＿_10_10_20

お礼

区別ができるような、解説ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

aの箱を選ぶ確率1/2
bの箱を選ぶ確率1/2
とすると

aの箱を選ぶ確率は1/2で
(aの箱を選ぶという条件で)
当たりくじを引く条件付き確率は3/10
だから
aの箱の当たりくじを引く確率は
P(A)=(1/2)(3/10)=3/20

bの箱を選ぶ確率は1/2で
(bの箱を選ぶという条件で)
当たりくじを引く条件付き確率は2/5
だから
bの箱の当たりくじを引く確率は
P(B)=(1/2)(2/5)=1/5

当たりくじを引く確率は
P(A)+P(B)=3/20+1/5=7/20
だから

当たりくじを引くという条件で
それが箱aの当たりくじである条件付き確率は
P(A)/{P(A)+P(B)}
=(3/20)/(7/20)
=3/7

お礼

丁寧な解説、ありがとうございます。