積分が微分の逆演算であることに関係して

質問

微分を習った時(f(x+h)-f(x))/hでh→0にすると・・・というのは実によく納得できたのですが、このことを積分が微分の逆演算であることを理解するために使えないでしょうか。まさか
o→hではないですね。

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

微分（導関数）は、もとの関数の瞬間傾きになる、というのはご存知ですよね？。そこでx＝aから少しだけh進めます。hは0ではないけれど、非常に小さいhとします。この時、

　　f(a＋h)＝f(a)＋h・f’(a)　　　(1)

になると思えませんか？。ここでf’(a)は、x＝aにおけるf(x)の導関数（微分）の値です。

　もちろん(1)は近似式で、h＝0でないと厳密には成立しませんが、概ねこうなると思えるえませんか？。何故なら、f’(a)はx＝aにおける「瞬間傾き」だからです(^^;)。

　次に、x＝a＋hからまたh進めます。

　　f(a＋2h)＝f(a)＋h・f’(a)＋h・f’(a＋h)

ですよね？。これは何回でも繰り返せます。

　　f(a＋nh)＝f(a)＋h・f’(a)＋h・f’(a＋h)＋・・・　　　(2)

になりますが、(2)は#2さんの参考URLにある、区分求積の公式ではないですか？（a＋nh＝bとします）。もちろん(2)は概ね正しいだけで、厳密にはh→0の時だけの、

　　f(b)＝f(a)＋h・f’(a)＋h・f’(a＋h)＋・・・（どこまでも(^^;)）

がいちおうの厳密式です。

　数学では「・・・（どこまでも(^^;)）」も、「やれば出来る」と仮定されます。本当は出来いないんですけど、それは数学的理想化だ！という訳です(^^;)。

　このように、「微分による瞬間傾きの情報があれば、元の関数は再構成できるよね？」が、積分は微分の逆演算であるの本来の意味だと思います。ただしf(a)の値は「瞬間傾きの情報」からは指定できません。それで「微積分学の基本定理」という話になります。

　以上の「心」が大学ではどうなっているかというと、じつは微分の定義として、

　　f’(x)＝(f(x+h)-f(x))/h，h→0　　　(3)

は（正式には）使われないんです。(3)のhなんかを移項した、

　　f(x+h)＝f(x)+h・f’(x)，h→0　　　(4)

が微分の正式な定義になります。もちろん(4)の表現には、けっこう鬱陶しい条件が付加されますが基本は、「微分による瞬間傾きの情報があれば、元の関数は再構成できるよね？」・・・です(^^;)。

お礼

ご教示にしたがって辛抱強く理解できるように努力いたします。

回答No.2

178-tall

一例
　↓
参照URL の「定積分で面積が求まる理由」　など。

参考URL：

http://mathtrain.jp/teisekibun

お礼

できればｈ→をそのまま生かすような方法がないかなと思いました。しかしご教示を大切にいたします。

回答No.1

f272

理解するためということであれば「積分が微分の逆演算であること」は忘れて微分と積分は独立に理解しておいたほうがよいと思う。

お礼

微分と積分が逆演算であることが理解したかったことなのでした。