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微分と積分が互いに逆演算であるということ
微分と積分が互いに逆演算であるということは、微分積分をどのように定義して、どのような公理から出発すれば証明できるのでしょうか。 また、それに関連したことが載っているお勧めの専門書、ＷＥＢページなどあればぜひ教えてほしいです。 よろしくお願いします。
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質問者様が求めているのは、“微分積分学の基本定理”であるとお察しします。Wikipediaの解説にはこうあります。 ---------------------------------------------- 微分積分学の基本定理（びぶんせきぶんがくのきほんていり、fundamental theorem of calculus）とは、「微分と積分が互いに逆の操作・演算である」 ということを主張する解析学の定理である。微分積分法の基本定理ともいう。ここで「積分」は、リーマン積分のことを指す。 この事実こそ、発見者のニュートンやライプニッツらを微分積分学の創始者たらしめている重要な定理である。 この定理は主に一変数の連続関数など素性の良い関数に対するものである。これを多変数（高次元）の場合に拡張する方法は一つではないが、ベクトル解析におけるストークスの定理はその一例として挙げられるだろう。また、どの程度病的な関数について定理が成り立つのかというのも意味のある疑問であるといえる。 現在では微分積分学の初期に学ぶ基本的な定理であるが、この定理が実際に発見されたのは比較的最近である。 この定理が発見されるまでは、微分法と積分法はなんの関連性も無い全く別の計算だと考えられていた。 ------------------------------------------------- 質問者様もご指摘されているように、積分は、微分とは独立して定義することが可能です。この理論を理解するには、例えば大きな書店の“数学”のコーナー（≠大学受験の参考書コーナー）で適当な微分積分学の本を手に取り、 (1)索引などに“微分積分学の基本定理”の文字列があること (2)目次から積分の章を探し、積分の定義が、リーマン積分として定義されている（＝微分の逆演算ではない方法で定義されている） ことを確認すればよいでしょう。微分積分学をタイトルにもつ書物であれば、（経験則でしかないですが）ほとんどが積分をリーマン積分の定義から出発しているはずです。
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- grothendieck
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九州大学の梶原壌二先生は「積分を微分の逆演算として定義することの致命的な欠点は多変数の場合にうまく行かないことである。」とどこかで書かれています。でも一変数の場合だってうまく行きません。高木貞二「解析概論」p.102には「F'(x)=f(x)でもf(x)は必ずしも積分可能ではなく、積分可能でも積分関数はF(x)と合致するとは言えない。∫f(x)dxは必ずしも微分可能ではなく、微分可能でも微分商はf(x)と一致するとは限らない。」と書かれています。「ん？でも確かに積分は微分の逆と習ったはず」ー教科書をもう一度読みましょう。微分積分学の基本定理が成立するのは連続関数に対してです。「積分の定義とは何ですか？と聞かれたときに「微分の逆演算です。」という答えは正しくありません。
お礼
回答ありがとうございます！ なるほど、積分の定義を微分の逆演算とする、あるいは微分の定義を積分の定義としても丸く収まるように考えてましたけど、欠点があるんですね。確かに多変数関数まで拡張するのは無理がありそうですね。 微分と積分が独立に定義される意味についてはあまり考えたことがありませんでした。大変参考になりました。ありがとうございます。
補足
＞あるいは微分の定義を積分の定義としても丸く・・ 訂正 ＞あるいは微分の定義を積分の逆演算としても丸く・・ 間違えました、すいません。。
ある関数f(x)(xはD内の領域)はD上微分可能とし、今からある関数を微分してその微分した関数を積分することを考えます。微分作用をもつ写像をF,積分作用をもつ写像をGとします。 そうするとF(f(x))＝f'(x)で(これは今定義した通り) G(f'(x))=f(x)です(微分した関数を積分するともとの関数になることから) これら二つの式を定義として考えるとG(F(f(x)))=(G・F)(f(x))=f(x) なのでG・Fは恒等写像です。ゆえにGはFの逆写像であることから 微分と積分は互いに逆演算です。
お礼
早速の回答ありがとうございます！ ＞G(f'(x))=f(x)です(微分した関数を積分するともとの関数になることから) 私が知りたいのはこの部分の詳細です。 微分学と積分学はもともと一緒に作られたものではないと何かで読んだことがあります。 つまり、微分と積分はもとから逆演算として定義されたものではないと思います。（そういう定義をすればいいのかもしれないけど） 積分の定義とは何ですか？と聞かれたときに「微分の逆演算です。」という答えは正しいでしょうか 微分と積分は互いに独立して定義されるものであって、それが互いに逆演算になっていることが証明できるものだと思うのですが 質問の意図が分かりにくくて申し訳ありません。
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