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不等式の証明問題

ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＝１のとき（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）≧９が成り立つことを示せという問題がどうも解けません。相加≧相乗をつかうのかなという感じがしますが、きちんと証明できないんです。どなたか教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • tkm
  • ベストアンサー率45% (9/20)
回答No.1

（右辺）-（左辺）が0以上になるようにすればいい との仮定ですすめていきます 掛け算を展開して（右辺）-（左辺）を行うと 　1 + 1/x + 1/y + 1/xy - 9 =(x+y)/xy + 1/xy - 8 ここでｘ+ｙ＝1より =1/xy + 1/xy - 8 =2/xy - 8 となります。ここでxとyにtaka0077の言う 相加平均≧相乗平均を使うと (x+y)/2 ≧ √(xy) 　　1/2 ≧ √(xy) 　　1/4 ≧ xy　　　　（2乗します） 　　　4 ≦ 1/xy　　　（逆数をとります） 　　　8 ≦ 2/xy となり2/xyは8以上ということが分かります これを最初の式に適用しますと （右辺）-（左辺）= 2/xy - 8 ≧ 0 となり （右辺）　≧　（左辺） が証明されました よって与式が成り立ちます

その他の回答 (1)

  • tkm
  • ベストアンサー率45% (9/20)
回答No.2

ごめんなさい （左辺）-（右辺）でした（汗） あとはあってると思います

taka0077
質問者

お礼

ありがとうございました。（左辺）-（右辺）をして、ｘ＋ｙ＝１を使ってそれから相加≧相乗でしたか。大変よく分かりました。本当にありがとうございました。

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